Duplicar el cubo

Duplicar el cubo , también conocido como el problema de Delos , es un antiguo ^{[ a ] [ 1 ] : 9} problema geométrico . Dado el borde de un cubo , el problema requiere la construcción del borde de un segundo cubo cuyo volumen sea el doble del primero. Al igual que con los problemas relacionados de cuadrar el círculo y trisecar el ángulo , se sabe ahora que duplicar el cubo es imposible de construir usando solo un compás y una regla , pero incluso en la antigüedad se conocían soluciones que empleaban otros métodos.

Según Eutocio, Arquitas fue el primero en resolver el problema de duplicar el cubo, con una ingeniosa construcción geométrica. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} La inexistencia de una solución con regla y compás fue finalmente demostrada por Pierre Wantzel en 1837.

En términos algebraicos, duplicar un cubo unitario requiere la construcción de un segmento de línea de longitud x , donde x³ = 2 ; en ^otras palabras, x =${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, la raíz cúbica de dos . Esto se debe a que un cubo de lado 1 tiene un volumen de 1 ³ = 1 , y un cubo del doble de ese volumen (un volumen de 2) tiene un lado de longitud igual a la raíz cúbica de 2. Por lo tanto, la imposibilidad de duplicar el cubo es equivalente a la afirmación de que${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$no es un número construible . Esto es consecuencia del hecho de que las coordenadas de un nuevo punto construido con un compás y una regla son raíces de polinomios sobre el campo generado por las coordenadas de puntos anteriores, de grado no mayor que un cuadrático . Esto implica que el grado de la extensión del campo generada por un punto construible debe ser una potencia de 2. La extensión del campo generada por${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, sin embargo, es de grado 3.

Comenzamos con el segmento de línea unitario definido por los puntos (0,0) y (1,0) en el plano . Se nos pide construir un segmento de línea definido por dos puntos separados por una distancia de${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$. It is easily shown that compass and straightedge constructions would allow such a line segment to be freely moved to touch the origin, parallel with the unit line segment - so equivalently we may consider the task of constructing a line segment from (0,0) to (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, 0), which entails constructing the point (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, 0).

Respectively, the tools of a compass and straightedge allow us to create circlescentred on one previously defined point and passing through another, and to create lines passing through two previously defined points. Any newly defined point either arises as the result of the intersection of two such circles, as the intersection of a circle and a line, or as the intersection of two lines. An exercise of elementary analytic geometry shows that in all three cases, both the x- and y-coordinates of the newly defined point satisfy a polynomial of degree no higher than a quadratic, with coefficients that are additions, subtractions, multiplications, and divisions involving the coordinates of the previously defined points (and rational numbers). Restated in more abstract terminology, the new x- and y-coordinates have minimal polynomials of degree at most 2 over the subfield of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ generated by the previous coordinates. Therefore, the degree of the field extension corresponding to each new coordinate is 2 or 1.

So, given a coordinate of any constructed point, we may proceed inductively backwards through the x- and y-coordinates of the points in the order that they were defined until we reach the original pair of points (0,0) and (1,0). As every field extension has degree 2 or 1, and as the field extension over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ of the coordinates of the original pair of points is clearly of degree 1, it follows from the tower rule that the degree of the field extension over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ of any coordinate of a constructed point is a power of 2.

Now, p(x) = x³ − 2 = 0 is easily seen to be irreducible over ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ – any factorisation would involve a linear factor(x − k) for some ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, y por lo tanto k debe ser una raíz de p ( x ) ; pero también k debe dividir a 2 (por el teorema de la raíz racional ); es decir, k = 1, 2, −1 o −2 , y ninguno de estos son raíces de p ( x ) . Por el lema de Gauss , p ( x ) también es irreducible sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y, por lo tanto, es un polinomio mínimo sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$para${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$La extensión del campo${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$es, por lo tanto, de grado 3. Pero esto no es una potencia de 2, así que por lo anterior:

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$no es la coordenada de un punto construible, por lo tanto
• un segmento de línea de${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$no se puede construir con regla y compás, y
• El cubo no se puede duplicar utilizando únicamente una regla y un compás.

El problema debe su nombre a una historia sobre los ciudadanos de Delos , quienes consultaron al oráculo de Delfos para saber cómo vencer una plaga enviada por Apolo . ^{[ 5 ] [ 1 ] : 9} Según Plutarco , ^{[ 6 ]} sin embargo, los ciudadanos de Delos consultaron al oráculo de Delfos para encontrar una solución a sus problemas políticos internos de la época, que habían intensificado las relaciones entre los ciudadanos. El oráculo respondió que debían duplicar el tamaño del altar a Apolo, que era un cubo regular. La respuesta les pareció extraña a los delianos, y consultaron a Platón , quien pudo interpretar el oráculo como el problema matemático de duplicar el volumen de un cubo dado, explicando así el oráculo como el consejo de Apolo a los ciudadanos de Delos para que se dedicaran al estudio de la geometría y las matemáticas con el fin de calmar sus pasiones. ^{[ 7 ]}

Según Plutarco , Platón le dio el problema a Eudoxo , Arquitas y Menaechmo , quienes lo resolvieron usando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no haberlo resuelto usando geometría pura . ^{[ 8 ]} Esto podría explicar por qué el autor del pseudoplatónico Sísifo (388e) se refiere al problema como aún sin resolver en la década de 350 a. C. ^{[ 9 ]} Sin embargo, otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalón ) dice que los tres encontraron soluciones, pero que eran demasiado abstractas para tener valor práctico. ^{[ 10 ]}

Un avance significativo en la búsqueda de una solución al problema fue el descubrimiento de Hipócrates de Quíos de que es equivalente a encontrar dos medias geométricas proporcionales entre un segmento de línea y otro con el doble de longitud. ^{[ 11 ]} En notación moderna, esto significa que dados segmentos de longitudes a y 2a , la duplicación del cubo es equivalente a encontrar segmentos de longitudes r y s tales que

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

A su vez, esto significa que

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

Pero Pierre Wantzel demostró en 1837 que la raíz cúbica de 2 no es construible ; es decir, no se puede construir con regla y compás . ^{[ 12 ]}

La solución original de Menaechmus implica la intersección de dos curvas cónicas . Otros métodos más complicados para duplicar el cubo incluyen la neusis , la cissoide de Diocles , la concoide de Nicomedes o la línea de Filón . Pandrosión , una matemática probablemente mujer de la antigua Grecia, encontró una solución aproximada numéricamente precisa usando planos en tres dimensiones, pero fue duramente criticada por Pappus de Alejandría por no proporcionar una demostración matemática adecuada . ^{[ 13 ]} Arquitas resolvió el problema en el siglo IV a. C. usando una construcción geométrica en tres dimensiones, determinando un punto cierto como la intersección de tres superficies de revolución.

La teoría de Descartes sobre la solución geométrica de ecuaciones utiliza una parábola para introducir ecuaciones cúbicas; de esta forma, es posible plantear una ecuación cuya solución es la raíz cúbica de dos. Cabe destacar que la parábola en sí misma solo se puede construir mediante métodos tridimensionales.

Abundan las afirmaciones falsas sobre cómo duplicar el cubo con un compás y una regla en la literatura matemática pseudocientífica ( pseudomatemáticas ).

El origami también se puede utilizar para construir la raíz cúbica de dos doblando papel .

Usando una regla marcada

Existe una construcción de neusis simple que utiliza una regla marcada para una longitud que es la raíz cúbica de 2 veces otra longitud. ^{[ 14 ]}

1. Marca una regla con la longitud indicada; esta será finalmente GH.
2. Construye un triángulo equilátero ABC con la longitud dada para cada lado.
3. Extiende AB una cantidad igual nuevamente hasta D.
4. Extiende la línea BC formando la línea CE.
5. Extiende la línea DC formando la línea CF.
6. Coloca la regla marcada de manera que pase por A y un extremo, G, de la longitud marcada caiga sobre el rayo CF y el otro extremo de la longitud marcada, H, caiga sobre el rayo CE. Por lo tanto, GH es la longitud dada.

Entonces AG es la longitud dada por${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$.

En teoría musical , un análogo natural de la duplicación es la octava (un intervalo musical causado por duplicar la frecuencia de un tono), y un análogo natural de un cubo es dividir la octava en tres partes, cada una del mismo intervalo . En este sentido, el problema de duplicar el cubo se resuelve con la tercera mayor en temperamento igual . Este es un intervalo musical que es exactamente un tercio de una octava. Multiplica la frecuencia de un tono por${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$, la longitud del lado del cubo de Delos. ^{[ 15 ]}

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: Una solución bastante precisa al problema de Delos . En: Parabola Volumen 59 (2023) Número 1 , revista en línea (ISSN 1446-9723) publicada por la Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Nueva Gales del Sur.
• Duplicando el cubo, construcción por proximidad como animación (lado = 1,259921049894873) — Wikimedia Commons
• "Duplicación del cubo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Duplicar el cubo . JJ O'Connor y EF Robertson en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor.
• Duplicar un cubo : la solución de Arquitas . Fragmento de Historia de las matemáticas griegas, de Sir Thomas Heath .
• Problema de Delian resuelto. ¿O no? en cut-the-knot .
• Vídeo de Mathologer: "2000 años sin resolver: ¿Por qué es imposible duplicar cubos y cuadrar círculos?"