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Articulo de referencia

Conjunto dirigido

En matemáticas , un conjunto dirigido (o un preorden dirigido o un conjunto filtrado ) es un conjunto preordenado en el que cada subconjunto finito tiene una cota superior . [ 1...

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En matemáticas , un conjunto dirigido (o un preorden dirigido o un conjunto filtrado ) es un conjunto preordenado en el que cada subconjunto finito tiene una cota superior . [ 1 ] En otras palabras, es un conjunto preordenado no vacío.A{\displaystyle A}de tal manera que para cualquiera{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}enA{\displaystyle A}existedo{\displaystyle c}enA{\displaystyle A}cona≤do{\displaystyle a\leq c}yb≤do{\displaystyle b\leq c}. [ a ] ​​El preorden de un conjunto dirigido se llama dirección .

La noción definida anteriormente se denomina a vecesConjunto dirigido hacia arriba . UnUn conjunto dirigido hacia abajo se define simétricamente, [ 2 ] lo que significa que todo subconjunto finito tiene unacota inferior. [ 3 ] Algunos autores (y este artículo) asumen que un conjunto dirigido está dirigido hacia arriba, a menos que se indique lo contrario. Otros autores llaman a un conjunto dirigido si y solo si está dirigido tanto hacia arriba como hacia abajo. [ 4 ]

Los conjuntos dirigidos son una generalización de los conjuntos totalmente ordenados no vacíos . Es decir, todos los conjuntos totalmente ordenados son conjuntos dirigidos (a diferencia de los conjuntos parcialmente ordenados , que no necesariamente son dirigidos). Los semirretículos de unión (que son conjuntos parcialmente ordenados) también son conjuntos dirigidos, pero no a la inversa. Del mismo modo, los retículos son conjuntos dirigidos tanto hacia arriba como hacia abajo.

En topología , los conjuntos dirigidos se utilizan para definir redes , que generalizan secuencias y unifican las diversas nociones de límite empleadas en análisis . Los conjuntos dirigidos también dan lugar a límites directos en álgebra abstracta y (de forma más general) en teoría de categorías .

Ejemplos

El conjunto de los números naturalesnorte{\displaystyle \mathbb {N} }con el orden ordinario≤{\displaystyle \,\leq \,}es uno de los ejemplos más importantes de un conjunto dirigido. Todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido, incluyendo(Z,≤),{\displaystyle (\mathbb {Z},\leq),}(Q,≤),{\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq ),}y(R,≤).{\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}

Un ejemplo (trivial) de un conjunto parcialmente ordenado que no es dirigido es el conjunto{a,b},{\displaystyle \{a,b\},}en las que las únicas relaciones de orden sona≤a{\displaystyle a\leq a}yb≤b.{\displaystyle b\leq b.}Un ejemplo menos trivial es como el siguiente ejemplo de los "reales dirigidos haciaincógnita0{\displaystyle x_{0}}" pero en el que la regla de ordenación solo se aplica a pares de elementos del mismo lado deincógnita0{\displaystyle x_{0}}(es decir, si se toma un elementoa{\displaystyle a}a la izquierda deincógnita0,{\displaystyle x_{0},}yb{\displaystyle b}a su derecha, entoncesa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}no son comparables y el subconjunto{a,b}{\displaystyle \{a,b\}}no tiene límite superior).

Si un sistema de reescritura abstracta(incógnita,→){\displaystyle (X,\to )}es confluente , entonces su cierre transitivo(incógnita,→∗){\displaystyle (X,\to ^{*})}es un conjunto dirigido.

Producto de conjuntos dirigidos

DejarD1{\displaystyle \mathbb {D} _ {1}}yD2{\displaystyle \mathbb {D} _ {2}}sean conjuntos dirigidos. Entonces el conjunto producto cartesianoD1×D2{\displaystyle \mathbb {D} _{1}\times \mathbb {D} _{2}}se puede convertir en un conjunto dirigido definiendo(norte1,norte2)≤(metro1,metro2){\displaystyle \left(n_{1},n_{2}\right)\leq \left(m_{1},m_{2}\right)}si y solo sinorte1≤metro1{\displaystyle n_{1}\leq m_{1}}ynorte2≤metro2.{\displaystyle n_{2}\leq m_{2}.}En analogía con el orden del producto, esta es la dirección del producto en el producto cartesiano. Por ejemplo, el conjuntonorte×norte{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }Los pares de números naturales se pueden convertir en un conjunto dirigido definiendo(norte0,norte1)≤(metro0,metro1){\displaystyle \left(n_{0},n_{1}\right)\leq \left(m_{0},m_{1}\right)}si y solo sinorte0≤metro0{\displaystyle n_{0}\leq m_{0}}ynorte1≤metro1.{\displaystyle n_{1}\leq m_{1}.}

Dirigido hacia un punto

Siincógnita0{\displaystyle x_{0}}es un número real entonces el conjuntoI:=R∖{incógnita0}{\displaystyle I:=\mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }se puede convertir en un conjunto dirigido definiendoa≤Ib{\displaystyle a\leq _{I}b}si|a−incógnita0|≥|b−incógnita0|{\displaystyle \left|a-x_{0}\right|\geq \left|b-x_{0}\right|}(por lo que los elementos "mayores" están más cerca deincógnita0{\displaystyle x_{0}}). Entonces decimos que los reales han sido dirigidos haciaincógnita0.{\displaystyle x_{0}.}Este es un ejemplo de un conjunto dirigido que no es ni parcialmente ordenado ni totalmente ordenado . Esto se debe a que la antisimetría se rompe para cada par.a{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}equidistante deincógnita0,{\displaystyle x_{0},}dóndea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}están en lados opuestos deincógnita0.{\displaystyle x_{0}.}Explícitamente, esto sucede cuando{a,b}={incógnita0−r,incógnita0+r}{\displaystyle \{a,b\}=\left\{x_{0}-r,x_{0}+r\right\}}para algo realr≠0,{\displaystyle r\neq 0,}en cuyo casoa≤Ib{\displaystyle a\leq _{I}b}yb≤Ia{\displaystyle b\leq _{I}a}a pesar dea≠b.{\displaystyle a\neq b.}Si este pedido anticipado se hubiera definido enR{\displaystyle \mathbb {R} }en lugar deR∖{incógnita0}{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \lbrace x_{0}\rbrace }entonces seguiría formando un conjunto dirigido pero ahora tendría un elemento mayor (único) , específicamenteincógnita0{\displaystyle x_{0}}Sin embargo, aún así no estaría parcialmente ordenado. Este ejemplo se puede generalizar a un espacio métrico.(incógnita,d){\displaystyle (X,d)}definiendo enincógnita{\displaystyle X}oincógnita∖{incógnita0}{\displaystyle X\setminus \left\{x_{0}\right\}}la preventaa≤b{\displaystyle a\leq b}si y solo sid(a,incógnita0)≥d(b,incógnita0).{\displaystyle d\left(a,x_{0}\right)\geq d\left(b,x_{0}\right).}

Elementos máximos y más grandes

Un elementometro{\displaystyle m}de un conjunto reservado(I,≤){\displaystyle (I,\leq )}es un elemento maximal si para cadaj∈I,{\displaystyle j\in I,}metro≤j{\displaystyle m\leq j}implicaj≤metro.{\displaystyle j\leq m.}[ b ] Es unelemento mayorsi para cadaj∈I,{\displaystyle j\in I,}j≤metro.{\displaystyle j\leq m.}

Cualquier conjunto preordenado con un elemento mayor es un conjunto dirigido con el mismo preorden. Por ejemplo, en un posetPAG,{\displaystyle P,}cada clausura inferior de un elemento; es decir, cada subconjunto de la forma{a∈PAG:a≤incógnita}{\displaystyle \{a\in P:a\leq x\}}dóndeincógnita{\displaystyle x}es un elemento fijo dePAG,{\displaystyle P,}está dirigido.

Un conjunto preordenado es dirigido si y solo si el conjunto (posiblemente vacío) de elementos máximos es igual al conjunto de elementos máximos.

Inclusión de subconjuntos

La relación de inclusión de subconjuntos⊆,{\displaystyle \,\subseteq ,\,}junto con su doble⊇,{\displaystyle \,\supseteq ,\,}Definimos órdenes parciales en cualquier familia de conjuntos dada. Una familia de conjuntos no vacía es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial.⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}(respectivamente,⊆{\displaystyle \,\subsetequ \,}) si y solo si la intersección (respectivamente, unión) de cualesquiera dos de sus miembros contiene como subconjunto (respectivamente, está contenido como subconjunto de) algún tercer miembro. En símbolos, una familiaI{\displaystyle I}de conjuntos está dirigido con respecto a⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}(respectivamente,⊆{\displaystyle \,\subsetequ \,}) si y solo si

a pesar deA,B∈I,{\displaystyle A,B\in I,}existe algodo∈I{\displaystyle C\in I}de tal manera queA⊇do{\displaystyle A\supseteq C}yB⊇do{\displaystyle B\supseteq C}(respectivamente,A⊆do{\displaystyle A\subsetequ C}yB⊆do{\displaystyle B\subsetequ C})

o equivalentemente,

a pesar deA,B∈I,{\displaystyle A,B\in I,}existe algodo∈I{\displaystyle C\in I}de tal manera queA∩B⊇do{\displaystyle A\cap B\supseteq C}(respectivamente,A∪B⊆do{\displaystyle A\cup B\subsetequ C}).

Muchos ejemplos importantes de conjuntos dirigidos pueden definirse utilizando estos órdenes parciales. Por ejemplo, por definición, un prefiltro o base de filtro es una familia no vacía de conjuntos que es un conjunto dirigido con respecto al orden parcial.⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}y que tampoco contiene el conjunto vacío (esta condición evita la trivialidad porque de lo contrario, el conjunto vacío sería entonces un elemento mayor con respecto a⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}). Todo π -sistema , que es una familia no vacía de conjuntos que es cerrada bajo la intersección de cualesquiera dos de sus miembros, es un conjunto dirigido con respecto a⊇.{\displaystyle \,\supseteq \,.}Cada sistema λ es un conjunto dirigido con respecto a⊆.{\displaystyle \,\subseteq \,.}Cada filtro , topología y σ-álgebra es un conjunto dirigido con respecto a ambos⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}y⊆.{\displaystyle \,\subseteq \,.}

Colas de redes

Por definición, una red es una función de un conjunto dirigido y una sucesión es una función de los números naturales.norte.{\displaystyle \mathbb {N} .}Cada secuencia canónicamente se convierte en una red al dotarla denorte{\displaystyle \mathbb {N} }con≤.{\displaystyle \,\leq .\,}

Siincógnita∙=(incógnitai)i∈I{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}es cualquier red de un conjunto dirigido(I,≤){\displaystyle (I,\leq )}entonces para cualquier índicei∈I,{\displaystyle i\in I,}el conjuntoincógnita≥i:={incógnitaj:j≥i con j∈I}{\displaystyle x_{\geq i}:=\left\{x_{j}:j\geq i{\text{ with }}j\in I\right\}}se llama la cola de(I,≤){\displaystyle (I,\leq )}comenzando eni.{\displaystyle i.}La familiaCruz⁡(incógnita∙):={incógnita≥i:i∈I}{\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right):=\left\{x_{\geq i}:i\in I\right\}}de todas las colas es un conjunto dirigido con respecto a⊇;{\displaystyle \,\supseteq ;\,} de hecho, incluso es un prefiltro.

barrios

SiT{\displaystyle T}es un espacio topológico yincógnita0{\displaystyle x_{0}}es un punto enT,{\displaystyle T,}el conjunto de todos los barrios deincógnita0{\displaystyle x_{0}}puede convertirse en un conjunto dirigido escribiendoU≤V{\displaystyle U\leq V}si y solo siU{\displaystyle U}contieneV.{\displaystyle V.}Por cadaU,{\displaystyle U,}V,{\displaystyle V,}yW{\displaystyle W}:

  • U≤U{\displaystyle U\leq U}desdeU{\displaystyle U}se contiene a sí mismo.
  • siU≤V{\displaystyle U\leq V}yV≤W,{\displaystyle V\leq W,}entoncesU⊇V{\displaystyle U\supseteq V}yV⊇W,{\displaystyle V\supseteq W,}lo cual implicaU⊇W.{\displaystyle U\supseteq W.}De este modoU≤W.{\displaystyle U\leq W.}
  • porqueincógnita0∈U∩V,{\displaystyle x_{0}\in U\cap V,}y puesto que ambosU⊇U∩V{\displaystyle U\supseteq U\cap V}yV⊇U∩V,{\displaystyle V\supseteq U\cap V,}tenemosU≤U∩V{\displaystyle U\leq U\cap V}yV≤U∩V.{\displaystyle V\leq U\cap V.}

subconjuntos finitos

El conjuntoFinito⁡(I){\displaystyle \operatorname {Finite} (I)}de todos los subconjuntos finitos de un conjuntoI{\displaystyle I}está dirigido con respecto a⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}ya que dados dos cualesquieraA,B∈Finito⁡(I),{\displaystyle A,B\in \operatorname {Finite} (I),}su uniónA∪B∈Finito⁡(I){\displaystyle A\cup B\in \operatorname {Finite} (I)}es un límite superior deA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}enFinito⁡(I).{\displaystyle \operatorname {Finite} (I).}Este conjunto dirigido en particular se utiliza para definir la suma.∑i∈Iri{\displaystyle {\textstyle \sum \limits _{i\in I}}r_{i}}de una serie generalizada de unaI{\displaystyle I}-colección indexada de números(ri)i∈I{\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}(o, de forma más general, la suma de elementos en un grupo topológico abeliano , como vectores en un espacio vectorial topológico ) como límite de la red de sumas parcialesF∈Finito⁡(I)↦∑i∈Fri;{\displaystyle F\in \operatorname {Finite} (I)\mapsto {\textstyle \sum \limits _{i\in F}}r_{i};}eso es: ∑i∈Iri := límiteF∈Finito⁡(I) ∑i∈Fri = límite{∑i∈Fri:F⊆I,F finito }.{\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}~:=~\lim _{F\in \operatorname {Finite} (I)}\ \sum _{i\in F}r_{i}~=~\lim \left\{\sum _{i\in F}r_{i}\,:F\subseteq I,F{\text{ finite }}\right\}.}

Lógica

DejarS{\displaystyle S}ser una teoría formal , que es un conjunto de oraciones con ciertas propiedades (cuyos detalles se pueden encontrar en el artículo sobre el tema ). Por ejemplo,S{\displaystyle S}podría ser una teoría de primer orden (como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ) o una teoría de orden cero más simple . El conjunto preordenado(S,⇐){\displaystyle (S,\Leftarrow )}es un conjunto dirigido porque siA,B∈S{\displaystyle A,B\in S}y sido:=A∧B{\displaystyle C:=A\wedge B}denota la oración formada por conjunción lógica∧,{\displaystyle \,\wedge ,\,}entoncesA⇐do{\displaystyle A\Leftarrow C}yB⇐do{\displaystyle B\Leftarrow C}dóndedo∈S.{\displaystyle C\in S.} SiS/∼{\displaystyle S/\sim }es el álgebra de Lindenbaum-Tarski asociada conS{\displaystyle S}entonces(S/∼,⇐){\displaystyle \left(S/\sim ,\Leftarrow \right)}es un conjunto parcialmente ordenado que también es un conjunto dirigido.

Contraste con semirretículos

Ejemplo de un conjunto dirigido que no es un semirretículo de unión.

El conjunto dirigido es un concepto más general que el semiretículo (de unión): todo semiretículo de unión es un conjunto dirigido, ya que la unión o el límite superior mínimo de dos elementos es el deseado.do.{\displaystyle c.} Sin embargo, lo contrario no se cumple, como lo demuestra el conjunto dirigido {1000,0001,1101,1011,1111} ordenado bit a bit (por ejemplo1000≤1011{\displaystyle 1000\leq 1011}se mantiene, pero0001≤1000{\displaystyle 0001\leq 1000}No, puesto que en el último bit 1 > 0), donde {1000,0001} tiene tres cotas superiores pero ninguna cota superior mínima , véase la imagen. (Nótese también que sin 1111, el conjunto no es dirigido).

subconjuntos dirigidos

La relación de orden en un conjunto dirigido no tiene por qué ser antisimétrica , y por lo tanto, los conjuntos dirigidos no siempre son órdenes parciales . Sin embargo, el término conjunto dirigido también se usa con frecuencia en el contexto de los conjuntos parcialmente ordenados (posets). En este contexto, un subconjuntoA{\displaystyle A}de un conjunto parcialmente ordenado(PAG,≤){\displaystyle (P,\leq )}Se denomina subconjunto dirigido si es un conjunto dirigido según el mismo orden parcial: en otras palabras, no es el conjunto vacío y cada par de elementos tiene una cota superior. Aquí se muestra la relación de orden en los elementos deA{\displaystyle A}se hereda dePAG{\displaystyle P}Por esta razón, no es necesario exigir explícitamente la reflexividad y la transitividad.

Un subconjunto dirigido de un poset no tiene por qué ser cerrado hacia abajo ; un subconjunto de un poset es dirigido si y solo si su cierre hacia abajo es un ideal . Si bien la definición de un conjunto dirigido se refiere a un conjunto "dirigido hacia arriba" (cada par de elementos tiene una cota superior), también es posible definir un conjunto dirigido hacia abajo en el que cada par de elementos tiene una cota inferior común. Un subconjunto de un poset es dirigido hacia abajo si y solo si su cierre superior es un filtro .

Los subconjuntos dirigidos se utilizan en la teoría de dominios , que estudia los órdenes parciales dirigidos completos . [ 5 ] Estos son conjuntos parcialmente ordenados en los que se requiere que todo conjunto dirigido hacia arriba tenga una cota superior mínima . En este contexto, los subconjuntos dirigidos proporcionan nuevamente una generalización de las secuencias convergentes.

Véase también

Notas

  1. ↑ En la definición equivalente de "cada subconjunto finito tiene una cota superior", el conjuntoA{\displaystyle A}Se requiere automáticamente que no esté vacío porque debe existir un límite superior para el conjunto vacío.
  2. ↑ Esto implicaj=metro{\displaystyle j=m}si(I,≤){\displaystyle (I,\leq )}es un conjunto parcialmente ordenado .

Notas a pie de página

  1. ↑ Kelley 1975 , pág. 65.
  2. ↑ Robert S. Borden (1988). Un curso de cálculo avanzado . Courier Corporation. pág.  20. ISBN 978-0-486-15038-3.
  3. ↑ Arlen Brown; Carl Pearcy (1995). Introducción al análisis . Springer. pág . 13. ISBN  978-1-4612-0787-0.
  4. ↑ Siegfried Carl; Seppo Heikkilä (2010). Teoría del punto fijo en conjuntos ordenados y aplicaciones: de ecuaciones diferenciales e integrales a la teoría de juegos . Springer. pág. 77. ISBN  978-1-4419-7585-0.
  5. ↑ Gierz et al. 2003 , pág. 2.

Obras citadas

  • Kelley, John L. (1975) [1955]. Topología general . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  27 (2.ª  ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1OCLC 1365153​​ 
  • Gierz, G.; Hofmann, KH; Keimel, K.; Lawson, JD; Mislove, M.; Scott, DS (2003). Retículos y dominios continuos . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511542725 . ISBN 9780511542725OCLC 7334257218​​