criterio de rendimiento de Drucker-Prager

El criterio de fluencia de Drucker-Prager ^{[ 1 ]} es un modelo dependiente de la presión que permite determinar si un material ha fallado o ha sufrido fluencia plástica. Este criterio se introdujo para abordar la deformación plástica de los suelos. Tanto este criterio como sus numerosas variantes se han aplicado a rocas, hormigón, polímeros, espumas y otros materiales dependientes de la presión.

El criterio de rendimiento de Drucker - Prager tiene la forma

${\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}}$

dónde${\displaystyle I_{1}}$es el primer invariante de la tensión de Cauchy y${\displaystyle J_{2}}$es el segundo invariante de la parte desviadora de la tensión de Cauchy . Las constantes${\displaystyle A,B}$se determinan a partir de experimentos.

En términos de la tensión equivalente (o tensión de von Mises ) y la tensión hidrostática (o media) , el criterio de Drucker-Prager se puede expresar como

${\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}}$

dónde${\displaystyle \sigma _{e}}$es el estrés equivalente,${\displaystyle \sigma _{m}}$es la tensión hidrostática, y ${\displaystyle a,b}$son constantes del material. El criterio de fluencia de Drucker-Prager expresado en coordenadas de Haigh-Westergaard es

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A}$

La superficie de fluencia de Drucker-Prager es una versión suavizada de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb .

El modelo de Drucker-Prager se puede escribir en términos de las tensiones principales como

${\displaystyle {\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.}$

Si${\displaystyle \sigma _{t}}$es la tensión de fluencia en tensión uniaxial, el criterio de Drucker-Prager implica

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.}$

Si${\displaystyle \sigma _{c}}$es la tensión de fluencia en compresión uniaxial, el criterio de Drucker-Prager implica

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=AB~\sigma _{c}~.}$

Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene

${\displaystyle A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.}$

El modelo de Drucker-Prager se ha utilizado para modelar polímeros como el polioximetileno y el polipropileno . ^{[ 3 ]} Para el polioximetileno, la tensión de fluencia es una función lineal de la presión. Sin embargo, el polipropileno muestra una dependencia cuadrática de la tensión de fluencia con respecto a la presión.

Para espumas, el modelo GAZT ^{[ 4 ]} utiliza

${\displaystyle A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s}}}\right)}$

dónde${\displaystyle \sigma _{y}}$es una tensión crítica para la falla en tensión o compresión,${\displaystyle \rho }$es la densidad de la espuma, y${\displaystyle \rho _{s}}$es la densidad del material base.

El criterio de Drucker-Prager también puede expresarse en la forma alternativa.

${\displaystyle J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.}$

Una forma anisotrópica del criterio de fluencia de Drucker-Prager es el criterio de fluencia de Liu-Huang-Stout. ^{[ 7 ]} Este criterio de fluencia es una extensión del criterio de fluencia generalizado de Hill y tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\end{aligned}}}$

Los coeficientes${\displaystyle F,G,H,L,M,N,I,J,K}$son

${\displaystyle {\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _{1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2}-\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2}^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{12}^{y})^{2}}}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3}:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}}$

y${\displaystyle \sigma _{ic},i=1,2,3}$son las tensiones de fluencia uniaxial en compresión en las tres direcciones principales de anisotropía,${\displaystyle \sigma _{it},i=1,2,3}$son las tensiones de fluencia uniaxial en tracción y ${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y}}$son las tensiones de fluencia en corte puro. Se ha supuesto anteriormente que las cantidades${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c}}$son positivos y${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t}}$son negativos.

El criterio de Drucker-Prager no debe confundirse con el criterio de Drucker anterior ^{[ 8 ]} que es independiente de la presión (${\displaystyle I_{1}}$). El criterio de rendimiento de Drucker tiene la forma

${\displaystyle f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0}$

dónde${\displaystyle J_{2}}$es el segundo invariante de la tensión desviadora,${\displaystyle J_{3}}$es el tercer invariante de la tensión desviadora,${\displaystyle \alpha }$es una constante que se encuentra entre -27/8 y 9/4 (para que la superficie de fluencia sea convexa),${\displaystyle k}$es una constante que varía con el valor de${\displaystyle \alpha }$. Para${\displaystyle \alpha =0}$,${\displaystyle k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}}$dónde${\displaystyle \sigma _{y}}$es la tensión de fluencia en tensión uniaxial.

Una versión anisotrópica del criterio de fluencia de Drucker es el criterio de fluencia de Cazacu-Barlat (CZ) ^{[ 9 ]} que tiene la forma

${\displaystyle f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0}$

dónde${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0}}$son formas generalizadas de la tensión desviadora y se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\}\sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{(b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _{33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_{10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2}\right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{22}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}}$

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