Criterio de rendimiento de Drucker-Prager

El criterio de fluencia de Drucker-Prager ^[1] es un modelo dependiente de la presión para determinar si un material ha fallado o ha sufrido fluencia plástica. El criterio se introdujo para abordar la deformación plástica de los suelos. Este criterio y sus muchas variantes se han aplicado a rocas, hormigón, polímeros, espumas y otros materiales dependientes de la presión.

El criterio de rendimiento de Drucker - Prager tiene la forma

${\displaystyle {\sqrt {J_{2}}}=A+B~I_{1}}$

donde es el primer invariante de la tensión de Cauchy y es el segundo invariante de la parte desviatoria de la tensión de Cauchy . Las constantes se determinan a partir de experimentos. ${\estilo de visualización I_{1}}$${\estilo de visualización J_{2}}$${\estilo de visualización A,B}$

En términos de la tensión equivalente (o tensión de von Mises ) y la tensión hidrostática (o media) , el criterio de Drucker-Prager se puede expresar como

${\displaystyle \sigma _{e}=a+b~\sigma _{m}}$

donde es la tensión equivalente, es la tensión hidrostática y son constantes del material. El criterio de fluencia de Drucker-Prager expresado en coordenadas de Haigh-Westergaard es ${\displaystyle \sigma _{e}}$${\displaystyle \sigma _{m}}$${\estilo de visualización a,b}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\rho -{\sqrt {3}}~B\xi =A}$

La superficie de fluencia de Drucker-Prager es una versión suave de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb .

El modelo de Drucker-Prager se puede escribir en términos de las tensiones principales como

${\displaystyle {\sqrt {{\cfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})~.}$

Si es la tensión de fluencia en tensión uniaxial, el criterio de Drucker-Prager implica ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{t}=A+B~\sigma _{t}~.}$

Si es la tensión de fluencia en compresión uniaxial, el criterio de Drucker-Prager implica $estilo de visualización sigma _{c}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\sigma _{c}=AB~\sigma _{c}~.}$

Resolviendo estas dos ecuaciones obtenemos

${\displaystyle A={\cfrac {2}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{c}~\sigma _{t}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.}$

El modelo de Drucker-Prager predice diferentes tensiones de fluencia uniaxiales en tracción y en compresión. La relación de asimetría uniaxial para el modelo de Drucker-Prager es

${\displaystyle \beta ={\cfrac {\sigma _{\mathrm {c}}}{\sigma _{\mathrm {t}}}={\cfrac {1-{\sqrt {3}}~B}{1+{\sqrt {3}}~B}}~.}$

Dado que la superficie de fluencia de Drucker-Prager es una versión suave de la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb , a menudo se expresa en términos de la cohesión ( ) y el ángulo de fricción interna ( ) que se utilizan para describir la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb . ^[2] Si suponemos que la superficie de fluencia de Drucker-Prager circunscribe la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, entonces las expresiones para y son ${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi )}}}$

Si la superficie de fluencia de Drucker-Prager circunscribe la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, entonces

${\displaystyle A={\cfrac {6~c~\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi )}}}$

Si la superficie de fluencia de Drucker-Prager inscribe la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb, entonces

${\displaystyle A={\cfrac {3~c~\cos \phi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}~;~~B={\cfrac {\sin \ fi }{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi }}}}$

El modelo de Drucker-Prager se ha utilizado para modelar polímeros como el polioximetileno y el polipropileno ^{[ cita requerida ]} . ^[3] En el caso del polioximetileno, el límite elástico es una función lineal de la presión. Sin embargo, el polipropileno muestra una dependencia cuadrática de la presión del límite elástico.

Para las espumas, el modelo GAZT ^[4] utiliza

${\displaystyle A=\pm {\cfrac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}~;~~B=\mp {\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s}}}\right)}$

donde es una tensión crítica de falla en tracción o compresión, es la densidad de la espuma y es la densidad del material base. ${\displaystyle \sigma _{y}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho _{s}}$

El criterio de Drucker-Prager también puede expresarse en la forma alternativa

${\displaystyle J_{2}=(A+B~I_{1})^{2}=a+b~I_{1}+c~I_{1}^{2}~.}$

El criterio de fluencia de Deshpande-Fleck ^[5] para espumas tiene la forma que se indica en la ecuación anterior. Los parámetros para el criterio de Deshpande-Fleck son ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a=(1+\beta ^{2})~\sigma _{y}^{2}~,~~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2}}{3}}}$

donde es un parámetro ^[6] que determina la forma de la superficie de fluencia, y es la tensión de fluencia en tracción o compresión. ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \sigma _{y}}$

Una forma anisotrópica del criterio de rendimiento de Drucker-Prager es el criterio de rendimiento de Liu-Huang-Stout. ^[7] Este criterio de rendimiento es una extensión del criterio de rendimiento generalizado de Hill y tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}f:=&{\sqrt {F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}-1\leq 0\end{aligned}}}$

Los coeficientes son ${\displaystyle F,G,H,L,M,N,I,J,K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F=&{\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{2}^{2}+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _{1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3}^{2}+\Sigma _{1}^{2}-\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2}^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{12}^{y})^{2}}}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~K={\cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \Sigma _{1}:={\cfrac {\sigma _{1c}+\sigma _{1t}}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c}\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3}:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}}$

y son las tensiones de fluencia uniaxiales en compresión en las tres direcciones principales de anisotropía, son las tensiones de fluencia uniaxiales en tracción y son las tensiones de fluencia en cizallamiento puro. Se ha supuesto en lo anterior que las cantidades son positivas y negativas. ${\displaystyle \sigma _{ic},i=1,2,3}$${\displaystyle \sigma _{it},i=1,2,3}$${\displaystyle \sigma _{23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y}}$${\displaystyle \sigma _{1c},\sigma _{2c},\sigma _{3c}}$${\displaystyle \sigma _{1t},\sigma _{2t},\sigma _{3t}}$

El criterio de Drucker-Prager no debe confundirse con el criterio anterior de Drucker ^[8] que es independiente de la presión ( ). El criterio de rendimiento de Drucker tiene la forma ${\displaystyle I_{1}}$

${\displaystyle f:=J_{2}^{3}-\alpha ~J_{3}^{2}-k^{2}\leq 0}$

donde es el segundo invariante de la tensión desviadora, es el tercer invariante de la tensión desviadora, es una constante que se encuentra entre -27/8 y 9/4 (para que la superficie de fluencia sea convexa), es una constante que varía con el valor de . Para , donde es la tensión de fluencia en tensión uniaxial. ${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle J_{3}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle k^{2}={\cfrac {\sigma _{y}^{6}}{27}}}$${\displaystyle \sigma _{y}}$

Una versión anisotrópica del criterio de rendimiento de Drucker es el criterio de rendimiento de Cazacu-Barlat (CZ) ^[9] que tiene la forma

${\displaystyle f:=(J_{2}^{0})^{3}-\alpha ~(J_{3}^{0})^{2}-k^{2}\leq 0}$

donde son formas generalizadas del estrés desviatorio y se definen como ${\displaystyle J_{2}^{0},J_{3}^{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}:=&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+a_{2}(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23}^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\}\sigma _{33}^{3}\right]\\&-{\cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3}\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{(b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _{33}^{2}\right]\\&+{\cfrac {2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-(2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_{10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2}\right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{22}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right]\end{aligned}}}$

Para láminas metálicas delgadas, el estado de tensión se puede aproximar como tensión plana . En ese caso, el criterio de fluencia de Cazacu-Barlat se reduce a su versión bidimensional con

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{2}^{0}=&{\cfrac {1}{6}}\left[(a_{2}+a_{3})\sigma _{11}^{2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\right]+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\right]-{\cfrac {1}{9}}\left[b_{1}\sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\right]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{3}}\left[b_{5}\sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

Para láminas delgadas de metales y aleaciones, los parámetros del criterio de fluencia de Cazacu-Barlat son

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