Número doble

En álgebra , los números duales son un álgebra cuadrática introducida por primera vez en el siglo XIX. Son expresiones de la forma a + bε , donde a y b son números reales y ε es un símbolo que se toma para satisfacer${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$con${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$.

Los números duales se pueden sumar componente por componente y multiplicar por la fórmula.

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,}$

lo cual se deduce de la propiedad ε ² = 0 y del hecho de que la multiplicación es una operación bilineal .

Los números duales forman un álgebra conmutativa de dimensión dos sobre los números reales, y también un anillo local artiniano . Son uno de los ejemplos más sencillos de un anillo que tiene elementos nilpotentes distintos de cero .

Los números duales fueron introducidos en 1873 por William Clifford y utilizados a principios del siglo XX por el matemático alemán Eduard Study , quien los empleó para representar el ángulo dual que mide la posición relativa de dos líneas oblicuas en el espacio. Study definió un ángulo dual como θ + dε , donde θ es el ángulo entre las direcciones de dos líneas en el espacio tridimensional y d es la distancia entre ellas. La generalización n- dimensional, el número de Grassmann , fue introducida por Hermann Grassmann a finales del siglo XIX.

En álgebra moderna , el álgebra de números duales se define a menudo como el cociente de un anillo de polinomios sobre los números reales.${\displaystyle (\mathbb {R} )}$por el ideal principal generado por el cuadrado de la indeterminada , ^{[ 1 ]} es decir

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}$

También puede definirse como el álgebra exterior de un espacio vectorial unidimensional con${\displaystyle \varepsilon }$como su elemento básico.

La división de números duales se define cuando la parte real del denominador ( c en las ecuaciones siguientes) es distinta de cero . El proceso de división es análogo a la división compleja, ya que el denominador se multiplica por su conjugado para cancelar las partes no reales.

Por lo tanto, para evaluar una expresión de la forma

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}}$

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}$

Si, por otro lado, c es cero mientras que d no lo es, entonces la ecuación

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

1. no tiene solución si a es distinto de cero
2. se resuelve de otro modo mediante cualquier número dual de la forma ⁠ b / d ⁠ + yε .

Esto significa que la parte no real del "cociente" es arbitraria y, por lo tanto, la división no está definida para números duales puramente no reales. De hecho, son divisores de cero (trivialmente) y claramente forman un ideal del álgebra asociativa (y, por ende, del anillo ) de los números duales.

El número dual${\displaystyle a+b\varepsilon }$puede representarse mediante la matriz cuadrada${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$En esta representación la matriz${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$cuadrados a la matriz cero, correspondiente al número dual${\displaystyle \varepsilon }$.

Generalmente, si${\displaystyle \varepsilon }$es una matriz nilpotente , entonces B = { x I + y${\displaystyle \varepsilon }$: x, y real} es una subálgebra isomorfa al álgebra de números duales. En el caso de matrices reales de 2x2 M(2, R ),${\displaystyle \varepsilon }$puede tomarse como cualquier matriz de la forma${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$con p = a ² + bc = 0.

Los números duales son una de las tres clases de isomorfismo de 2-álgebras reales en M(2, R ). Cuando p > 0, la subálgebra B es isomorfa a los números complejos escindidos , y cuando p < 0, B es isomorfa al plano complejo .

Una aplicación de los números duales es la diferenciación automática . Cualquier polinomio

${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}}$

con coeficientes reales se puede extender a una función de un argumento con valores numéricos duales,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle P'}$es el derivado de${\displaystyle P.}$

En términos más generales, cualquier función real (analítica) puede extenderse a los números duales mediante su serie de Taylor :

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

ya que todos los términos que involucran ε ² o potencias mayores son trivialmente 0 por la definición de ε .

Al calcular composiciones de estas funciones sobre los números duales y examinar el coeficiente de ε en el resultado, encontramos que hemos calculado automáticamente la derivada de la composición.

Un método similar funciona para polinomios de n variables, utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial n -dimensional.

El "círculo unitario" de los números duales consiste en aquellos con a = ±1 ya que estos satisfacen zz * = 1 donde z * = a − bε . Sin embargo, tenga en cuenta que

${\displaystyle e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,}$

por lo que el mapa exponencial aplicado al eje ε cubre solo la mitad del "círculo".

Sea z = a + bε . Si a ≠ 0 y m = ⁠ b / a ⁠ , entonces z = a (1 + mε ) es la descomposición polar del número dual z , y la pendiente m es su parte angular. El concepto de una rotación en el plano del número dual es equivalente a una aplicación de corte vertical ya que (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε .

En el espacio y el tiempo absolutos, la transformación galileana

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

eso es

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

relaciona el sistema de coordenadas en reposo con un marco de referencia móvil de velocidad v . Con los números duales t + xε que representan eventos a lo largo de una dimensión espacial y temporal, la misma transformación se efectúa con la multiplicación por 1 + vε .

Los números duales encuentran aplicaciones en mecánica , especialmente en síntesis cinemática. Por ejemplo, permiten transformar las ecuaciones de entrada/salida de un mecanismo esférico de cuatro barras, que incluye únicamente articulaciones rotoides, en un mecanismo espacial de cuatro barras (rotoide, rotoide, rotoide, cilíndrico). Los ángulos dualizados constan de una parte primitiva, los ángulos, y una parte dual, cuyas unidades son de longitud. ^{[ 3 ]} Véase la teoría de tornillos para más información.

En geometría algebraica moderna , los números duales sobre un cuerpo${\displaystyle k}$(con lo que nos referimos al anillo${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$) se puede utilizar para definir los vectores tangentes a los puntos de un${\displaystyle k}$- esquema . ^{[ 4 ]} Dado que el campo${\displaystyle k}$Dado que pueden elegirse intrínsecamente, es posible hablar simplemente de los vectores tangentes a un esquema. Esto permite incorporar conceptos de la geometría diferencial a la geometría algebraica.

En detalle: El anillo de números duales puede pensarse como el anillo de funciones en el "entorno de primer orden de un punto", es decir, el${\displaystyle k}$- esquema${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))}$. ^{[ 4 ]} Entonces, dado un${\displaystyle k}$-esquema${\displaystyle X}$,${\displaystyle k}$-Los puntos del esquema se corresponden uno a uno con los mapas.${\displaystyle \operatorname {Spec} k\to X}$, mientras que los vectores tangentes están en correspondencia uno a uno con los mapas${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X}$.

El campo${\displaystyle k}$arriba se puede elegir intrínsecamente para que sea un campo residual . A saber: dado un punto${\displaystyle x}$en un plan${\displaystyle S}$, considere el tallo${\displaystyle S_{x}}$. Observe que${\displaystyle S_{x}}$es un anillo local con un único ideal maximal , que se denota${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$. Entonces simplemente deja${\displaystyle k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$.

Esta construcción se puede llevar a cabo de forma más general: para un anillo conmutativo R se pueden definir los números duales sobre R como el cociente del anillo de polinomios R [ X ] por el ideal ( X ² ) : la imagen de X entonces tiene un cuadrado igual a cero y corresponde al elemento ε de arriba.

Los números duales encuentran aplicaciones en física , donde constituyen uno de los ejemplos no triviales más sencillos de un superespacio . De forma equivalente, son supernúmeros con un solo generador; los supernúmeros generalizan el concepto a n generadores distintos ε , cada uno anticonmutativo, pudiendo llevar n al infinito. El superespacio generaliza ligeramente los supernúmeros al permitir múltiples dimensiones conmutativas.

La motivación para introducir números duales en física proviene del principio de exclusión de Pauli para fermiones. La dirección a lo largo de ε se denomina dirección "fermiónica", y la componente real se denomina dirección "bosónica". La dirección fermiónica recibe este nombre del hecho de que los fermiones obedecen el principio de exclusión de Pauli: bajo el intercambio de coordenadas, la función de onda cuántica cambia de signo y, por lo tanto, se anula si se juntan dos coordenadas; esta idea física se captura mediante la relación algebraica ε ² = 0 . 

La idea de una línea proyectiva sobre números duales fue propuesta por Grünwald ^{[ 5 ]} y Corrado Segre . ^{[ 6 ]}

Así como la esfera de Riemann necesita un polo norte en el infinito para cerrar la línea proyectiva compleja , una línea en el infinito logra cerrar el plano de los números duales a un cilindro . ^{[ 2 ] : 149–153}

Supongamos que D es el anillo de números duales x + yε y U es el subconjunto con x ≠ 0. Entonces U es el grupo de unidades de D. Sea B = {( a , b ) ∈ D × D  : a ∈ U o b ∈ U} . Se define una relación en B como sigue: ( a , b ) ~ ( c , d ) cuando hay un u en U tal que ua = c y ub = d . Esta relación es de hecho una relación de equivalencia . Los puntos de la recta proyectiva sobre D son clases de equivalencia en B bajo esta relación: P ( D ) = B /~ . Se representan con coordenadas proyectivas [ a , b ] .

Consideremos la incrustación D → P ( D ) mediante z → [ z , 1] . Entonces los puntos [1, n ] , para n ² = 0 , están en P ( D ) pero no son la imagen de ningún punto bajo la incrustación. P ( D ) se mapea sobre un cilindro mediante proyección : Tomemos un cilindro tangente al plano de números duales en la línea { yε  : y ∈ R } , ε ² = 0 . Ahora tomemos la línea opuesta en el cilindro como eje de un haz de planos. Los planos que intersecan el plano de números duales y el cilindro proporcionan una correspondencia de puntos entre estas superficies. El plano paralelo al plano de números duales corresponde a los puntos [1, n ] , n ² = 0 en la línea proyectiva sobre los números duales.

• Análisis infinitesimal suave
• Teoría de perturbaciones
• Infinitesimal
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• transformaciones de Laguerre
• Número de Grassmann
• Diferenciación automática