poliedro uniforme doble

Un poliedro uniforme dual es el dual de un poliedro uniforme . Mientras que un poliedro uniforme es transitivo en vértices , un poliedro uniforme dual es transitivo en caras .

Los poliedros transitivos en cara comprenden un conjunto de 9 poliedros regulares, dos conjuntos finitos que comprenden 66 poliedros no regulares y dos conjuntos infinitos:

• Cinco sólidos platónicos convexos regulares : tetraedro regular , cubo , octaedro regular , dodecaedro regular e icosaedro regular . El octaedro regular es dual del cubo, y el icosaedro regular es dual del dodecaedro regular. El tetraedro regular es autodual , lo que significa que su dual es el propio tetraedro regular. ^{[ 1 ]}
• Cuatro sólidos de Kepler-Poinsot con forma de estrella regulares : dodecaedro grande , dodecaedro estrellado pequeño , icosaedro grande y dodecaedro estrellado grande . El dodecaedro grande es dual al dodecaedro estrellado pequeño, y el icosaedro grande es dual al dodecaedro estrellado grande.
• 13 sólidos catalanes convexos , que son duales a los sólidos arquimedianos convexos uniformes .
• 53 poliedros estrellados, que son duales a los poliedros estrellados uniformes .
• La serie infinita de bipirámides , que son duales a los prismas uniformes , tanto convexos como estrellados.
• La serie infinita de trapezoedros , que son duales a los antiprismas uniformes , tanto convexos como estrellados.

Wenninger describe el conjunto completo, junto con las instrucciones para construir los modelos, en su libro Dual Models .

Para un poliedro uniforme , cada cara del poliedro dual puede derivarse de la figura del vértice correspondiente del poliedro original utilizando la construcción de Dorman-Luke . ^{[ 2 ]} La construcción de Dorman-Luke procede de la siguiente manera:

1. Mark the points A, B, C, D of each edge connected to the vertex V (in this case, the midpoints) such that VA = VB = VC = VD.
2. Draw the vertex figure ABCD.
3. Draw the circumcircle of ABCD.
4. Draw the line tangent to the circumcircle at each corner A, B, C, D.
5. Mark the points E, F, G, H, where each two adjacent tangent lines meet.

The line segments EF, FG, GH, HE are already drawn, as parts of the tangent lines. The polygon EFGH is the face of the dual polyhedron that corresponds to the original vertex V.

In this example, the size of the vertex figure was chosen so that its circumcircle lies on the intersphere of the cuboctahedron, which also becomes the intersphere of the dual rhombic dodecahedron. Dorman Luke's construction can only be used when a polyhedron has such an intersphere so that the vertex figure has a circumcircle. For instance, it can be applied to the uniform polyhedra.

• List of uniform polyhedra

• Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Duality of polyhedra", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617–642, doi:10.1080/00207390500064049, S2CID 120818796.
• Herrmann, Diane L.; Sally, Paul J. (2013). Number, Shape, & Symmetry: An Introduction to Number Theory, Geometry, and Group Theory. CRC Press. ISBN 978-1-4665-5464-1.
• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
• Wenninger, Magnus (1983). Dual Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54325-8.