Paquete doble

En matemáticas , el fibrado dual es una operación sobre fibrados vectoriales que extiende la operación de dualidad para espacios vectoriales .

El fibrado dual de un fibrado vectorial${\displaystyle \pi :E\to X}$es el haz vectorial${\displaystyle \pi ^{*}:E^{*}\a X}$cuyas fibras son los espacios duales a las fibras de${\displaystyle E}$.

De forma equivalente,${\displaystyle E^{*}}$puede definirse como el fibrado Hom${\displaystyle \mathrm {Hom} (E,\mathbb {R} \times X),}$es decir, el fibrado vectorial de morfismos de${\displaystyle E}$al paquete de líneas trivial${\displaystyle \mathbb {R} \times X\to X.}$

Dada una trivialización local de${\displaystyle E}$con funciones de transición${\displaystyle t_{ij},}$una trivialización local de${\displaystyle E^{*}}$se da por la misma cubierta abierta de${\displaystyle X}$con funciones de transición${\displaystyle t_{ij}^{*}=(t_{ij}^{T})^{-1}}$(la inversa de la transpuesta ). El fibrado dual${\displaystyle E^{*}}$Luego se construye utilizando el teorema de construcción de haces de fibras . Como casos particulares:

• El haz dual de un haz asociado es el haz asociado a la representación dual del grupo de estructura .
• El fibrado dual del fibrado tangente de una variedad diferenciable es su fibrado cotangente .

Si el espacio base${\displaystyle X}$es paracompacto y Hausdorff entonces es un fibrado vectorial real de rango finito${\displaystyle E}$y su dualidad${\displaystyle E^{*}}$son isomorfos como haces vectoriales. Sin embargo, al igual que para los espacios vectoriales , no hay una elección natural de isomorfismo a menos que${\displaystyle E}$está equipado con un producto interior .

Esto no es cierto en el caso de haces vectoriales complejos : por ejemplo, el haz de líneas tautológico sobre la esfera de Riemann no es isomorfo a su dual. El dual${\displaystyle E^{*}}$de un haz vectorial complejo${\displaystyle E}$es, en efecto, isomorfo al fibrado conjugado.${\displaystyle {\overline {E}},}$pero la elección del isomorfismo no es canónica a menos que${\displaystyle E}$está equipado con un producto hermitiano .

El paquete Hom${\displaystyle \mathrm {Hom} (E_ {1}, E_ {2})}$El producto de dos haces vectoriales es canónicamente isomorfo al producto tensorial.${\displaystyle E_{1}^{*}\otimes E_{2}.}$

Dado un morfismo${\displaystyle f:E_{1}\to E_{2}}$de haces vectoriales sobre el mismo espacio, existe un morfismo${\displaystyle f^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}}$entre sus haces duales (en el orden inverso), definidos fibra por fibra como la transpuesta de cada mapa lineal${\displaystyle f_{x}:(E_{1})_{x}\to (E_{2})_{x}.}$En consecuencia, la operación de fibrado dual define un functor contravariante de la categoría de fibrados vectoriales y sus morfismos en sí misma.

• 今野, 宏 (2013).微分幾何学. 〈現代数学への入門〉 (en japonés). 東京: 東京大学出版会. ISBN 9784130629713.