Sistema dual

Aemparejamiento oparen un campo${\displaystyle \mathbb {K} }$es un triple${\displaystyle (X,Y,b),}$que también puede denotarse por${\displaystyle b(X,Y),}$que consta de dos espacios vectoriales${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$encima${\displaystyle \mathbb {K} }$y un mapa bilineal${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$llamado mapa bilineal asociado con el emparejamiento , ^{[ 1 ]} o más simplemente llamado mapa del emparejamiento o su forma bilineal . Los ejemplos aquí solo describen cuando${\displaystyle \mathbb {K} }$son los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$o los números complejos${\displaystyle \mathbb {C} }$pero la teoría matemática es general.

Por cada${\displaystyle x\in X}$, definir $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$ y por cada${\displaystyle y\in Y,}$definir $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$ Cada${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$es un funcional lineal en${\displaystyle Y}$y cada${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$es un funcional lineal en${\displaystyle X}$Por lo tanto, ambos $${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ y }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}$$ formar espacios vectoriales de funcionales lineales .

Es práctica común escribir${\displaystyle \langle x,y\rangle }$en lugar de${\displaystyle b(x,y)}$, en el que en algunos casos el emparejamiento puede denotarse por${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$en vez de${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$Sin embargo, este artículo se reserva el uso de${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$para el mapa de evaluación canónico (definido a continuación) para evitar confusiones a los lectores que no estén familiarizados con este tema.

Un emparejamiento${\displaystyle (X,Y,b)}$se llama unsistema dual , unpar dual , ^{[ 2 ]} o undualidad sobre${\displaystyle \mathbb {K} }$si la forma bilineal${\displaystyle b}$es no degenerado , lo que significa que satisface los dos siguientes axiomas de separación:

1. ${\displaystyle Y}$separa (distinguir) puntos de${\displaystyle X}$: si${\displaystyle x\in X}$es tal que${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$entonces${\displaystyle x=0}$; o equivalentemente, para todos los valores distintos de cero${\displaystyle x\in X}$, el mapa${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$no es idéntica${\displaystyle 0}$(es decir, existe un${\displaystyle y\in Y}$de tal manera que${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$para cada${\displaystyle x\in X}$);
2. ${\displaystyle X}$separa (distinguir) puntos de${\displaystyle Y}$: si${\displaystyle y\in Y}$es tal que${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$entonces${\displaystyle y=0}$; o equivalentemente, para todos los valores distintos de cero${\displaystyle y\in Y,}$el mapa${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$no es idéntica${\displaystyle 0}$(es decir, existe un${\displaystyle x\in X}$de tal manera que${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$para cada${\displaystyle y\in Y}$).

En este caso${\displaystyle b}$no es degenerado , y se puede decir que${\displaystyle b}$lugares${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$en dualidad (o, de forma redundante pero explícita, en dualidad separada ), y${\displaystyle b}$se denomina emparejamiento de dualidad de la triple${\displaystyle (X,Y,b)}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle Y}$se llamatotal si por cada${\displaystyle x\in X}$,$${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ para todo }}s\in S}$$implica${\displaystyle x=0.}$ Un subconjunto total de${\displaystyle X}$se define de forma análoga (véase la nota al pie). ^{[ nota 1 ]} Por lo tanto${\displaystyle X}$separa puntos de${\displaystyle Y}$si y solo si${\displaystyle X}$es un subconjunto total de${\displaystyle X}$y de manera similar para${\displaystyle Y}$.

Los vectores${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son ortogonales , escritos${\displaystyle x\perp y}$, si${\displaystyle b(x,y)=0}$Dos subconjuntos${\displaystyle R\subsetequ X}$y${\displaystyle S\subseteq Y}$son ortogonales , escritos${\displaystyle R\perp S}$, si${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$; es decir, si${\displaystyle b(r,s)=0}$a pesar de${\displaystyle r\in R}$y${\displaystyle s\in S}$. La definición de un subconjunto que es ortogonal a un vector se define de forma análoga .

El complemento ortogonal o aniquilador de un subconjunto${\displaystyle R\subsetequ X}$es $${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$De este modo${\displaystyle R}$es un subconjunto total de${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle R^{\perp }}$igual${\displaystyle \{0\}}$.

Dado un triple${\displaystyle (X,Y,b)}$definir un emparejamiento sobre${\displaystyle \mathbb {K} }$, el conjunto polar absoluto o conjunto polar de un subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X}$es el conjunto:$${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$Simétricamente , el conjunto polar absoluto o conjunto polar de un subconjunto${\displaystyle B}$de${\displaystyle Y}$se denota por${\displaystyle B^{\circ }}$y definido por $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

Utilizar un sistema de contabilidad que ayude a controlar la antisimetría de los dos lados de la dualidad, el polar absoluto de un subconjunto.${\displaystyle B}$de${\displaystyle Y}$También se le puede llamar prepolar absoluto o prepolar de${\displaystyle B}$y entonces puede denotarse por${\displaystyle ^{\circ }B}$. ^{[ 3 ]}

El polar${\displaystyle B^{\circ }}$es necesariamente un conjunto convexo que contiene${\displaystyle 0\in Y}$donde si${\displaystyle B}$Si está equilibrado, entonces también lo está.${\displaystyle B^{\circ }}$y si${\displaystyle B}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X}$entonces también lo es${\displaystyle B^{\circ }}$un subespacio vectorial de${\displaystyle Y.}$^{[ 4 ]}

Si${\displaystyle A}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X,}$entonces${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$y esto también es igual al polar real de${\displaystyle A.}$Si${\displaystyle A\subseteq X}$luego el bipolar de${\displaystyle A}$, denotado${\displaystyle A^{\circ \circ }}$, es el polar del complemento ortogonal de${\displaystyle A}$, es decir, el conjunto${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$De manera similar, si${\displaystyle B\subseteq Y}$luego el bipolar de${\displaystyle B}$es${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

Dado un emparejamiento${\displaystyle (X,Y,b),}$definir un nuevo emparejamiento${\displaystyle (Y,X,d)}$dónde${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$a pesar de${\displaystyle x\in X}$y${\displaystyle y\in Y}$. ^{[ 1 ]}

Existe un tema constante en la teoría de la dualidad: que cualquier definición de un emparejamiento${\displaystyle (X,Y,b)}$tiene una definición dual correspondiente para el emparejamiento${\displaystyle (Y,X,d).}$

Convención y definición : Dada cualquier definición para un emparejamiento${\displaystyle (X,Y,b),}$Se obtiene una definición dual aplicándola al emparejamiento.${\displaystyle (Y,X,d).}$Estas convenciones también se aplican a los teoremas.

Por ejemplo, si "${\displaystyle X}$distingue puntos de${\displaystyle Y}$" (resp, "${\displaystyle S}$es un subconjunto total de${\displaystyle Y}$") se define como arriba, entonces esta convención produce inmediatamente la definición dual de "${\displaystyle Y}$distingue puntos de${\displaystyle X}$" (resp, "${\displaystyle S}$es un subconjunto total de${\displaystyle X}$").

Esta notación siguiente es casi omnipresente y nos permite evitar asignar un símbolo a${\displaystyle d.}$

Convención y notación : Si una definición y su notación para un emparejamiento${\displaystyle (X,Y,b)}$depende del orden de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$(por ejemplo, la definición de la topología de Mackey)${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$en${\displaystyle X}$) luego cambiando el orden de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$entonces se entiende que la definición se aplica a${\displaystyle (Y,X,d)}$(siguiendo con el mismo ejemplo, la topología)${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$en realidad denotaría la topología${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$).

Por otro ejemplo, una vez que la topología débil en${\displaystyle X}$se define, denotado por${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$, entonces esta definición dual se aplicaría automáticamente al emparejamiento${\displaystyle (Y,X,d)}$para obtener la definición de la topología débil en${\displaystyle Y}$y esta topología se denotaría por${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$en vez de${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$.

Supongamos que${\displaystyle (X,Y,b)}$es un emparejamiento,${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X,}$y${\displaystyle N}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle Y}$. Entonces la restricción de${\displaystyle (X,Y,b)}$a${\displaystyle M\times N}$es el emparejamiento${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$Si${\displaystyle (X,Y,b)}$es una dualidad, entonces es posible que una restricción no sea una dualidad (por ejemplo, si${\displaystyle Y\neq \{0\}}$y${\displaystyle N=\{0\}}$).

Este artículo utilizará la práctica común de denotar la restricción.${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$por${\displaystyle (M,N,b).}$

Supongamos que${\displaystyle X}$es un espacio vectorial y sea${\displaystyle X^{\#}}$denotemos el espacio dual algebraico de${\displaystyle X}$(es decir, el espacio de todos los funcionales lineales en${\displaystyle X}$). Existe una dualidad canónica${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$dónde${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$que se denomina mapa de evaluación o funcional bilineal natural o canónico en${\displaystyle X\times X^{\#}.}$ Tenga en cuenta en particular que para cualquier${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$es solo otra forma de denotar${\displaystyle x^{\prime }}$; es decir${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

Si${\displaystyle N}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X^{\#}}$, entonces la restricción de${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$a${\displaystyle X\times N}$se denomina emparejamiento canónico, mientras que si este emparejamiento es una dualidad, entonces se denomina dualidad canónica . Claramente,${\displaystyle X}$siempre distingue puntos de${\displaystyle N}$, por lo que el emparejamiento canónico es un sistema dual si y solo si${\displaystyle N}$separa puntos de${\displaystyle X.}$ La siguiente notación es ahora prácticamente omnipresente en la teoría de la dualidad.

El mapa de evaluación se denotará por${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$(en lugar de por${\displaystyle c}$) y${\displaystyle \langle X,N\rangle }$se escribirá en lugar de${\displaystyle (X,N,c).}$

Suposición : Como es práctica común, si${\displaystyle X}$es un espacio vectorial y${\displaystyle N}$es un espacio vectorial de funcionales lineales en${\displaystyle X,}$entonces, a menos que se indique lo contrario, se asumirá que están asociados con el emparejamiento canónico.${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

Si${\displaystyle N}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X^{\#}}$entonces${\displaystyle X}$distingue puntos de${\displaystyle N}$(o equivalentemente,${\displaystyle (X,N,c)}$es una dualidad) si y solo si${\displaystyle N}$distingue puntos de${\displaystyle X,}$o equivalentemente si${\displaystyle N}$es total (es decir,${\displaystyle n(x)=0}$a pesar de${\displaystyle n\in N}$implica${\displaystyle x=0}$). ^{[ 1 ]}

Suponer${\displaystyle X}$es un espacio vectorial topológico (TVS) con espacio dual continuo${\displaystyle X^{\prime }.}$ Luego la restricción de la dualidad canónica${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$a${\displaystyle X}$×${\displaystyle X^{\prime }}$define un emparejamiento${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$para qué${\displaystyle X}$separa puntos de${\displaystyle X^{\prime }.}$ Si${\displaystyle X^{\prime }}$separa puntos de${\displaystyle X}$(lo cual es cierto si, por ejemplo,${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo de Hausdorff) entonces este emparejamiento forma una dualidad. ^{[ 2 ]}

Suposición : Como se hace habitualmente, siempre que...${\displaystyle X}$Si es un TVS, a menos que se indique lo contrario, se asumirá sin comentarios que está asociado con el emparejamiento canónico.${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

El siguiente resultado muestra que los funcionales lineales continuos en un TVS son precisamente aquellos funcionales lineales que están acotados en un entorno del origen.

Un espacio anterior a Hilbert${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$es un emparejamiento dual si y solo si${\displaystyle H}$es el espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle H}$tiene dimensión${\displaystyle 0.}$Aquí se supone que la forma sesquilineal${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es conjugada homogénea en su segunda coordenada y homogénea en su primera coordenada.

• Si${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$entonces es un verdadero espacio de Hilbert${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$forma un sistema dual.
• Si${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$es un espacio de Hilbert complejo entonces${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$forma un sistema dual si y solo si${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$Si${\displaystyle H}$entonces no es trivial${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$Ni siquiera forma emparejamiento ya que el producto interno es sesquilineal en lugar de bilineal. ^{[ 1 ]}

Supongamos que${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$es un espacio pre-Hilbert complejo con multiplicación escalar denotada como de costumbre por yuxtaposición o por un punto${\displaystyle \cdot .}$ Defina el mapa $${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$ donde el lado derecho utiliza la multiplicación escalar de${\displaystyle H.}$ Dejar${\displaystyle {\overline {H}}}$denotemos el espacio vectorial conjugado complejo de${\displaystyle H,}$dónde${\displaystyle {\overline {H}}}$denota el grupo aditivo de${\displaystyle (H,+)}$(por lo tanto, suma de vectores en${\displaystyle {\overline {H}}}$es idéntico a la suma de vectores en${\displaystyle H}$) pero con multiplicación escalar en${\displaystyle {\overline {H}}}$siendo el mapa${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$(en lugar de la multiplicación escalar que${\displaystyle H}$está dotado de).

El mapa${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$definido por${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$es lineal en ambas coordenadas ^{[ nota 2 ]} y por lo tanto${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$forma un emparejamiento dual.

• Suponer${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$y para todos${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$dejar$${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$Entonces${\displaystyle (X,Y,b)}$es un emparejamiento tal que${\displaystyle X}$distingue puntos de${\displaystyle Y,}$pero${\displaystyle Y}$no distingue puntos de${\displaystyle X.}$Además,${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• Dejar${\displaystyle 0<p<\infty ,}$${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$(dónde${\displaystyle q}$es tal que${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$), y${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$Entonces${\displaystyle (X,Y,b)}$es un sistema dual.
• Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios vectoriales sobre el mismo campo${\displaystyle \mathbb {K} .}$Luego la forma bilineal${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$lugares${\displaystyle X\times Y}$y${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$en dualidad. ^{[ 2 ]}
• Un espacio de secuencias${\displaystyle X}$y su versión beta dual${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$con el mapa bilineal definido como${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}} para${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y\in X^{\beta }}$forma un sistema dual.

Un subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$es${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-limitado si y solo si $${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$dónde${\displaystyle b(S,y):=\{b(s,y):s\in S\}.}$

Si${\displaystyle (X,Y,b)}$Si existe un emparejamiento, entonces los siguientes son equivalentes:

1. ${\displaystyle X}$distingue puntos de${\displaystyle Y}$;
2. El mapa${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$define una inyección desde${\displaystyle Y}$en el espacio dual algebraico de${\displaystyle X}$; ^{[ 1 ]}
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$es Hausdorff . ^{[ 1 ]}

El siguiente teorema es de fundamental importancia para la teoría de la dualidad porque caracteriza completamente el espacio dual continuo de${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

En consecuencia, el espacio dual continuo de${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$es $${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

Con respecto al emparejamiento canónico, si${\displaystyle X}$es un TVS cuyo espacio dual continuo${\displaystyle X^{\prime }}$separa puntos en${\displaystyle X}$(es decir, de tal manera que${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$es Hausdorff, lo que implica que${\displaystyle X}$es también necesariamente Hausdorff) entonces el espacio dual continuo de${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$es igual al conjunto de todas las "evaluaciones en un punto".${\displaystyle x}$"mapas como${\displaystyle x}$abarca${\displaystyle X}$(es decir, el mapa que envía${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$a${\displaystyle x^{\prime }(x)}$). Esto se escribe comúnmente como $${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$ Este hecho tan importante es la razón por la que los resultados para topologías polares en espacios duales continuos, como la topología dual fuerte${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$en${\displaystyle X^{\prime }}$Por ejemplo, también se puede aplicar a menudo al TVS original.${\displaystyle X}$; por ejemplo,${\displaystyle X}$ser identificado con${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$significa que la topología${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$en${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$en cambio, puede pensarse como una topología en${\displaystyle X.}$ Además, si${\displaystyle X^{\prime }}$está dotado de una topología más fina que${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$entonces el espacio dual continuo de${\displaystyle X^{\prime }}$necesariamente contendrá${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$como un subconjunto. Por ejemplo, cuando${\displaystyle X^{\prime }}$está dotado de la fuerte topología dual (y por lo tanto se denota por${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$) entonces $${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$ lo cual (entre otras cosas) permite${\displaystyle X}$estar dotado de la topología de subespacio inducida en él por, digamos, la topología dual fuerte${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$(esta topología también se denomina topología bidual fuerte y aparece en la teoría de espacios reflexivos : el TVS localmente convexo de Hausdorff)${\displaystyle X}$Se dice que es semirreflexivo si${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$y se denominará reflexivo si además la topología bidireccional fuerte${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$en${\displaystyle X}$es igual a${\displaystyle X}$(topología original/inicial).

Si${\displaystyle (X,Y,b)}$es un emparejamiento entonces para cualquier subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle X}$:

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$y este conjunto es${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$-cerrado; ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^{[ 1 ]}
  • Por lo tanto, si${\displaystyle S}$es un${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-subespacio vectorial cerrado de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• Si${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$es una familia de${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-subespacios vectoriales cerrados de${\displaystyle X}$entonces $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$es una familia de subconjuntos de${\displaystyle X}$entonces ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle X}$es un espacio normado entonces bajo la dualidad canónica,${\displaystyle S^{\perp }}$¿Está cerrada la norma en?${\displaystyle X^{\prime }}$y${\displaystyle S^{\perp \perp }}$¿Está cerrada la norma en?${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}

Supongamos que${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle (M,Y,b)}$denotan la restricción de${\displaystyle (X,Y,b)}$a${\displaystyle M\times Y.}$ La topología débil${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$en${\displaystyle M}$es idéntica a la topología de subespacio que${\displaystyle M}$hereda de${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

También,${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$es un espacio emparejado (donde${\displaystyle Y/M^{\perp }}$medio${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$) dónde${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$se define por $${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

La topología${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$es igual a la topología del subespacio que${\displaystyle M}$hereda de${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$^{[ 5 ]} Además, si${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$es un sistema dual entonces también lo es${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$^{[ 5 ]}

Supongamos que${\displaystyle M}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle X.}$ Entonces${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$es un espacio emparejado donde${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$se define por $${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

La topología${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$es idéntica a la topología de cociente usual inducida por${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$en${\displaystyle X/M.}$^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle X}$es un espacio localmente convexo y si${\displaystyle H}$es un subconjunto del espacio dual continuo${\displaystyle X^{\prime },}$entonces${\displaystyle H}$es${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-limitado si y solo si${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$para algún barril${\displaystyle B}$en${\displaystyle X.}$^{[ 1 ]}

Los siguientes resultados son importantes para definir topologías polares.

Si${\displaystyle (X,Y,b)}$es un emparejamiento y${\displaystyle A\subseteq X,}$entonces: ^{[ 1 ]}

1. El polar${\displaystyle A^{\circ }}$de${\displaystyle A}$es un subconjunto cerrado de${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. Los polares de los siguientes conjuntos son idénticos: (a)${\displaystyle A}$; (b) la envoltura convexa de${\displaystyle A}$; (c) el casco equilibrado de${\displaystyle A}$; (d) el${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-cierre de${\displaystyle A}$; (e) el${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-cierre de la envoltura convexa equilibrada de${\displaystyle A.}$
3. El teorema bipolar : El bipolar de${\displaystyle A,}$denotado por${\displaystyle A^{\circ \circ },}$es igual a la${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-cierre de la envoltura convexa equilibrada de${\displaystyle A.}$
   • El teorema bipolar en particular "es una herramienta indispensable para trabajar con dualidades". ^{[ 4 ]}
4. ${\displaystyle A}$es${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$-limitado si y solo si${\displaystyle A^{\circ }}$es absorbente en${\displaystyle Y.}$
5. Si además${\displaystyle Y}$distingue puntos de${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle A}$es${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$- limitado si y solo si es${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$- totalmente limitado .