Objeto dual

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto dual es un análogo de un espacio vectorial dual del álgebra lineal para objetos en categorías monoidales arbitrarias . Es solo una generalización parcial, basada en las propiedades categóricas de dualidad para espacios vectoriales de dimensión finita . Un objeto que admite un dual se denomina objeto dualizable . En este formalismo, los espacios vectoriales de dimensión infinita no son dualizables, ya que el espacio vectorial dual V ^* no satisface los axiomas. ^{[ 1 ]} A menudo, un objeto es dualizable solo cuando satisface alguna propiedad de finitud o compacidad . ^{[ 2 ]}

Una categoría en la que cada objeto tiene un dual se denomina autónoma o rígida . La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita con el producto tensorial estándar es rígida, mientras que la categoría de todos los espacios vectoriales no lo es.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún cuerpo K. La noción estándar de un espacio vectorial dual V ^∗ tiene la siguiente propiedad: para cualesquiera espacios vectoriales U y W sobre K existe una adjunción Hom _K ( U ⊗ V , W ) = Hom _K ( U , V ^∗ ⊗ W ), y esto caracteriza a V ^∗ salvo un único isomorfismo . Esta expresión tiene sentido en cualquier categoría con un reemplazo apropiado para el producto tensorial de espacios vectoriales. Para cualquier categoría monoidal ( C , ⊗) se puede intentar definir un dual de un objeto V como un objeto V ^∗ ∈ C con un isomorfismo natural de bifuntores.

Hom _C ((–) ₁ ⊗ V , (–) ₂ ) → Hom _C ((–) ₁ , V ^∗ ⊗ (–) ₂ )

Para una noción de dualidad bien constituida, este mapa no solo debe ser natural en el sentido de la teoría de categorías, sino también respetar la estructura monoidal de alguna manera. ^{[ 1 ]} Una definición real de un objeto dual es, por lo tanto, más complicada.

En una categoría monoidal cerrada C , es decir, una categoría monoidal con un functor Hom interno , un enfoque alternativo es simular la definición estándar de un espacio vectorial dual como un espacio de funcionales . Para un objeto V ∈ C, definimos V ^∗ como${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}_{C}(V,\mathbb {1} _{C})}$, donde 1 _C es la identidad monoidal. En algunos casos, este objeto será un objeto dual de V en el sentido anterior, pero en general conduce a una teoría diferente. ^{[ 3 ]}

Consideremos un objeto${\displaystyle X}$en una categoría monoidal${\displaystyle (\mathbf {C},\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)}$. El objeto${\displaystyle X^{*}}$se llama dual izquierdo de${\displaystyle X}$si existen dos morfismos

${\displaystyle \eta :I\to X\otimes X^{*}}$, denominada coevaluación y${\displaystyle \varepsilon :X^{*}\otimes X\to I}$, llamada evaluación ,

de tal manera que los dos diagramas siguientes conmuten:

El objeto${\displaystyle X}$se llama el dual derecho de${\displaystyle X^{*}}$Esta definición se debe a Dold y Puppe (1980) .

Los duales izquierdos son canónicamente isomorfos cuando existen, al igual que los duales derechos. Cuando C es trenzado (o simétrico ), todo dual izquierdo es también un dual derecho, y viceversa.

Si consideramos una categoría monoidal como una bicategoría con un objeto, un par dual es exactamente un par adjunto .

• Consideremos una categoría monoidal (Vect _K , ⊗ _K ) de espacios vectoriales sobre un cuerpo K con el producto tensorial estándar. Un espacio V es dualizable si y solo si es de dimensión finita, y en este caso el objeto dual V ^∗ coincide con la noción estándar de un espacio vectorial dual .
• Consideremos una categoría monoidal (Mod _R , ⊗ _R ) de módulos sobre un anillo conmutativo R con el producto tensorial estándar . Un módulo M es dualizable si y solo si es un módulo proyectivo finitamente generado . En ese caso, el objeto dual M ^∗ también viene dado por el módulo de homomorfismos Hom _R ( M , R ). ^{[ 4 ]}
• Consideremos una categoría homotópica de espectros puntuales Ho(Sp) con el producto smash como la estructura monoidal. Si M es un vecindario compacto retractarse en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(por ejemplo, una variedad compacta y lisa ), entonces el espectro correspondiente con punto Σ ^∞ ( M ⁺ ) es dualizable. Esto es consecuencia de la dualidad de Spanier-Whitehead , que implica en particular la dualidad de Poincaré para variedades compactas. ^{[ 1 ]}
• La categoría${\displaystyle \mathrm {Fin} (\mathbf {C} )}$de endofunctores de una categoría${\displaystyle \mathbf {C} }$es una categoría monoidal bajo la composición de funtores . Un funtor${\displaystyle F}$es el dual izquierdo de un functor${\displaystyle G}$si y solo si${\displaystyle F}$queda adjunto a${\displaystyle G}$. ^{[ 5 ]}

Una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo (respectivamente derecho) se denomina a veces categoría autónoma izquierda (respectivamente derecha) . Los geómetras algebraicos la llaman categoría rígida izquierda (respectivamente derecha) . Una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo y uno derecho se denomina categoría autónoma . Una categoría autónoma que además es simétrica se denomina categoría cerrada compacta .

Cualquier endomorfismo f de un objeto dualizable admite una traza , que es un cierto endomorfismo de la unidad monoidal de C. Esta noción incluye, como casos muy especiales, la traza en álgebra lineal y la característica de Euler de un complejo de cadena .

• Objeto dualizador