Equivalencia de categorías

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas abstractas , una equivalencia de categorías es una relación entre dos categorías que establece que estas son "esencialmente iguales". Existen numerosos ejemplos de equivalencias categóricas en diversas áreas de las matemáticas. Establecer una equivalencia implica demostrar fuertes similitudes entre las estructuras matemáticas en cuestión. En algunos casos, estas estructuras pueden parecer no relacionadas a un nivel superficial o intuitivo, lo que confiere a la noción una gran potencia: permite "traducir" teoremas entre diferentes tipos de estructuras matemáticas, sabiendo que el significado esencial de dichos teoremas se conserva tras la traducción.

Si una categoría es equivalente a la opuesta (o dual) de otra categoría, entonces se habla de una dualidad de categorías y se dice que las dos categorías son dualmente equivalentes .

Una equivalencia de categorías consiste en un functor entre las categorías involucradas, el cual debe tener un functor "inverso". Sin embargo, a diferencia de lo que ocurre con los isomorfismos en un contexto algebraico, la composición del functor y su "inverso" no es necesariamente la identidad. Basta con que cada objeto sea naturalmente isomorfo a su imagen bajo esta composición. Así, se puede describir a los functores como "inversos salvo isomorfismo". Si bien existe el concepto de isomorfismo de categorías , donde se requiere una forma estricta del functor inverso, este resulta mucho menos práctico que la equivalencia.

Formalmente, dadas dos categorías C y D , una equivalencia de categorías consiste en un functor F  : C → D , un functor G  : D → C , y dos isomorfismos naturales ε: FG → I _D y η  : I _C → GF . Aquí, FG : D → D y GF : C → C denotan las composiciones respectivas de F y G , e I _C : C → C e I _D : D → D denotan los functores identidad en C y D , asignando cada objeto y morfismo a sí mismo. Si F y G son functores contravariantes, se habla de una dualidad de categorías .

A menudo no se especifican todos los datos anteriores. Por ejemplo, decimos que las categorías C y D son equivalentes (o dualmente equivalentes ) si existe una equivalencia (o dualidad) entre ellas. Además, decimos que F "es" una equivalencia de categorías si existe un functor inverso G y los isomorfismos naturales mencionados anteriormente. Sin embargo, cabe señalar que el conocimiento de F generalmente no es suficiente para reconstruir G y los isomorfismos naturales: puede haber muchas opciones (véase el ejemplo a continuación).

Un functor F  : C → D produce una equivalencia de categorías si y solo si es simultáneamente:

• completo , es decir, para cualesquiera dos objetos c ₁ y c ₂ de C , el mapa Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) inducido por F es sobreyectivo ;
• fiel , es decir, para cualesquiera dos objetos c ₁ y c ₂ de C , la aplicación Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) inducida por F es inyectiva ; y
• esencialmente sobreyectivo (denso) , es decir ^, cada objeto d en D es isomorfo a un objeto de la forma Fc , para c en C. ^{[ 1} ]

Este es un criterio bastante útil y comúnmente aplicado, ya que no es necesario construir explícitamente el "inverso" G ni los isomorfismos naturales entre FG , GF y los functores identidad. Por otro lado, aunque las propiedades anteriores garantizan la existencia de una equivalencia categórica (Dada una versión suficientemente fuerte del axioma de elección en la teoría de conjuntos subyacente. Al usar anafunctores en lugar de functores ordinarios, esta afirmación puede sostenerse sin usar el AC. Para categorías distintas de las ordinarias, el AC sigue siendo necesario para categorías estrictas, la afirmación falla incluso si se asume el AC para precategorías , y el AC no es necesario para la demostración de categorías saturadas. ^{[ 2 ]} ), los datos faltantes no están completamente especificados y, a menudo, hay muchas opciones. Es una buena idea especificar explícitamente las construcciones faltantes siempre que sea posible. Debido a esta circunstancia, un functor con estas propiedades a veces se denomina equivalencia débil de categorías . (Desafortunadamente, esto entra en conflicto con la terminología de la teoría de homotopía ).

También existe una estrecha relación con el concepto de functores adjuntos.${\displaystyle F\dashv G}$, donde decimos que${\displaystyle F:C\rightarrow D}$es el adjunto izquierdo de${\displaystyle G:D\rightarrow C}$, o de igual modo, G es el adjunto derecho de F. Entonces C y D son equivalentes (como se definió anteriormente en el sentido de que existen isomorfismos naturales de FG a ID y de _IC a _GF ) si y solo si${\displaystyle F\dashv G}$y tanto F como G son plenas y fieles.

Cuando los functores adjuntos${\displaystyle F\dashv G}$Si no son a la vez completos y fieles, podemos considerar su relación de adjunción como una forma más débil de equivalencia de categorías. Suponiendo que se conocen las transformaciones naturales para las adjunciones, todas estas formulaciones permiten una construcción explícita de los datos necesarios, sin necesidad de principios de elección. La propiedad clave que se debe demostrar aquí es que la counidad de una adjunción es un isomorfismo si y solo si el adjunto derecho es un functor completo y fiel.

• Considere la categoría${\displaystyle C}$tener un solo objeto${\displaystyle c}$y un único morfismo${\displaystyle 1_{c}}$y la categoría${\displaystyle D}$con dos objetos${\displaystyle d_{1}}$,${\displaystyle d_{2}}$y cuatro morfismos: dos morfismos identidad${\displaystyle 1_{d_{1}}}$,${\displaystyle 1_{d_{2}}}$y dos isomorfismos${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$y${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$. Las categorías${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$son equivalentes; podemos (por ejemplo) tener${\displaystyle F}$mapa${\displaystyle c}$a${\displaystyle d_{1}}$y${\displaystyle G}$mapear ambos objetos de${\displaystyle D}$a${\displaystyle c}$y todos los morfismos a${\displaystyle 1_{c}}$.
• Por el contrario, la categoría${\displaystyle C}$con un solo objeto y un solo morfismo no es equivalente a la categoría${\displaystyle E}$con dos objetos y solo dos morfismos identidad. Los dos objetos en${\displaystyle E}$no son isomorfos en el sentido de que no hay morfismos entre ellos. Por lo tanto, cualquier functor de${\displaystyle C}$a${\displaystyle E}$no será esencialmente sobreyectivo.
• Consideremos una categoría${\displaystyle C}$con un objeto${\displaystyle c}$y dos morfismos${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$. Dejar${\displaystyle 1_{c}}$sea ​​el morfismo identidad en${\displaystyle c}$y establecer${\displaystyle f\circ f=1}$. Por supuesto,${\displaystyle C}$es equivalente a sí mismo, lo cual se puede demostrar tomando${\displaystyle 1_{c}}$en lugar de los isomorfismos naturales requeridos entre el functor${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$y sí misma. Sin embargo, también es cierto que${\displaystyle f}$produce un isomorfismo natural de${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$a sí mismo. Por lo tanto, dada la información de que los functores identidad forman una equivalencia de categorías, en este ejemplo todavía se puede elegir entre dos isomorfismos naturales para cada dirección.
• La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente a, pero no isomorfa a, la categoría de conjuntos apuntados y aplicaciones que preservan puntos. ^{[ 3 ]}
• Considere la categoría${\displaystyle C}$de espacios vectoriales reales de dimensión finita y la categoría${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$de todas las matrices reales (esta última categoría se explica en el artículo sobre categorías aditivas ). Entonces${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$son equivalentes: El functor${\displaystyle G\colon D\to C}$que mapea el objeto${\displaystyle A_{n}}$de${\displaystyle D}$al espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y las matrices en${\displaystyle D}$La correspondencia con los mapas lineales correspondientes es completa, fiel y esencialmente sobreyectiva.
• Uno de los temas centrales de la geometría algebraica es la dualidad de la categoría de esquemas afines y la categoría de anillos conmutativos . El functor${\displaystyle G}$asocia a cada anillo conmutativo su espectro , el esquema definido por los ideales primos del anillo. Su adjunto${\displaystyle F}$asocia a cada esquema afín su anillo de secciones globales.
• En análisis funcional, la categoría de C*-álgebras conmutativas con identidad es contravariantemente equivalente a la categoría de espacios de Hausdorff compactos . Bajo esta dualidad, todo espacio de Hausdorff compacto${\displaystyle X}$está asociada con el álgebra de funciones continuas de valor complejo en${\displaystyle X}$y cada C*-álgebra conmutativa está asociada con el espacio de sus ideales máximos . Esta es la representación de Gelfand .
• En la teoría de retículos , existen varias dualidades, basadas en teoremas de representación que conectan ciertas clases de retículos con clases de espacios topológicos . Probablemente el teorema más conocido de este tipo es el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas , que es un caso particular dentro del esquema general de la dualidad de Stone . Cada álgebra booleana${\displaystyle B}$se asigna a una topología específica en el conjunto de ultrafiltros de${\displaystyle B}$Por el contrario, para cualquier topología, los subconjuntos clopen (es decir, cerrados y abiertos) generan un álgebra booleana. Se obtiene una dualidad entre la categoría de álgebras booleanas (con sus homomorfismos) y los espacios de Stone (con aplicaciones continuas). Otro caso de dualidad de Stone es el teorema de representación de Birkhoff, que establece una dualidad entre órdenes parciales finitos y retículos distributivos finitos.
• En la topología sin sentido, se sabe que la categoría de lugares espaciales es equivalente a la dual de la categoría de espacios sobrios.
• Para dos anillos R y S , la categoría de producto R - Mod × S - Mod es equivalente a ( R × S )- Mod .
• Cualquier categoría es equivalente a su esqueleto .

Como regla general, una equivalencia de categorías conserva todos los conceptos y propiedades "categóricas". Si F  : C → D es una equivalencia, entonces las siguientes afirmaciones son todas verdaderas:

• El objeto c de C es un objeto inicial (o un objeto terminal , o un objeto cero ), si y solo si Fc es un objeto inicial (o un objeto terminal , o un objeto cero ) de D.
• El morfismo α en C es un monomorfismo (o epimorfismo , o isomorfismo ), si y solo si Fα es un monomorfismo (o epimorfismo, o isomorfismo) en D.
• El functor H  : I → C tiene límite (o colímite) l si y solo si el functor FH  : I → D tiene límite (o colímite) Fl . Esto se puede aplicar a igualadores , productos y coproductos , entre otros. Al aplicarlo a núcleos y conúcleos , vemos que la equivalencia F es un functor exacto .
• C es una categoría cartesiana cerrada (o un topos ) si y solo si D es cartesiana cerrada (o un topos).

Las dualidades "dan un giro a todos los conceptos": convierten los objetos iniciales en objetos terminales, los monomorfismos en epimorfismos, los núcleos en conúcleos, los límites en colímites, etc.

Si F  : C → D es una equivalencia de categorías, y G ₁ y G ₂ son dos inversas de F , entonces G ₁ y G ₂ son naturalmente isomorfas.

Si F  : C → D es una equivalencia de categorías, y si C es una categoría preaditiva (o aditiva , o abeliana ), entonces D puede transformarse en una categoría preaditiva (o aditiva, o abeliana) de tal manera que F se convierta en un functor aditivo . Por otro lado, cualquier equivalencia entre categorías aditivas es necesariamente aditiva. (Nótese que esta última afirmación no es cierta para las equivalencias entre categorías preaditivas).

Una autoequivalencia de una categoría C es una equivalencia F  : C → C . Las autoequivalencias de C forman un grupo bajo composición si consideramos que dos autoequivalencias que son naturalmente isomorfas son idénticas. Este grupo captura las "simetrías" esenciales de C . (Una salvedad: si C no es una categoría pequeña, entonces las autoequivalencias de C pueden formar una clase propia en lugar de un conjunto ).

• Definiciones equivalentes de estructuras matemáticas