Teorema de extensión de Dugundji

En matemáticas, el teorema de extensión de Dugundji es un teorema de topología general debido al matemático estadounidense James Dugundji . Está directamente relacionado con el teorema de extensión de Tietze-Urysohn —sobre la extensión de funciones continuas en espacios normales— del cual es, en cierto sentido, una generalización.

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio metrizable ,${\displaystyle A}$un subconjunto cerrado de X, y${\displaystyle L}$un espacio vectorial topológico localmente convexo . Entonces:

• Cada mapa continuo${\displaystyle f:A\to L}$admite una extensión continua${\displaystyle F:X\to L}$de tal manera que la imagen${\displaystyle F(X)}$está contenido en la envoltura convexa de${\displaystyle f(A).}$^{[ 1 ]}

o, equivalentemente:

• Cada mapa continuo de${\displaystyle A}$en un subconjunto convexo${\displaystyle K}$de${\displaystyle L}$admite una extensión continua desde${\displaystyle X}$en${\displaystyle K.}$^{[ 2 ]}

La primera versión del teorema de extensión de Tietze corresponde al caso especial del teorema anterior donde el espacio objetivo L es la recta real ℝ. Urysohn generalizó esto reemplazando el dominio siendo un espacio métrico por un espacio normal arbitrario. El teorema de extensión de Dugundji es una generalización transversal, reemplazando el objetivo ℝ por un espacio localmente convexo arbitrario. Hay otra generalización del teorema de Tietze suponiendo que el dominio X es paracompacto y el objetivo L es un espacio de Banach .

Arreglar alguna métrica${\displaystyle d}$en${\displaystyle X.}$Considere la cubierta abierta de${\displaystyle XA}$que consiste en las bolas abiertas${\displaystyle B(x,d(x,A)/2)}$para${\displaystyle x\in XA.}$Dado que todo espacio métrico es paracompacto , existe una cubierta abierta localmente finita.${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$de${\displaystyle XA}$de tal manera que cada${\displaystyle U_{i}}$está contenido en una de esas bolas. Elija una partición de la unidad.${\displaystyle \varphi _{i}}$subordinado a esta cubierta. Para cada${\displaystyle i}$, elige un punto${\displaystyle a_{i}\in A}$satisfactorio

${\displaystyle d(x_{i},a_{i})\leq 2d(x_{i},A),}$

lo cual es posible ya que para cada${\displaystyle \epsilon >0}$, hay un${\displaystyle a\in A}$con${\displaystyle d(x,a)\leq d(x,A)+\epsilon }$. Defina la extensión${\displaystyle F}$en${\displaystyle X}$por:

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{si }}x\in A,\\\sum _{i}\varphi _{i}(x)f(a_{i})&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$$

El mapa${\displaystyle F}$es claramente continuo en${\displaystyle XA}$Luego demostraremos que es continua en cada punto.${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$también. Para cada uno${\displaystyle x}$en${\displaystyle U_{i}}$, tenemos:${\displaystyle 2d(x,x_{i})\leq d(x_{i},A)}$o

${\displaystyle d(x,x_{i})+2d(x_{i},A)\leq 5d(x_{i},A)-5d(x,x_{i}).}$

Por lo tanto, tenemos:

${\displaystyle d(x,a_{i})\leq 5d(x,A)}$

y luego

${\displaystyle d(a,a_{i})\leq 6d(a,x).}$

Ahora, sea un entorno convexo C de${\displaystyle F(a)}$ser dado. Entonces, puesto que${\displaystyle f}$es continuo, hay algo${\displaystyle \delta >0}$de tal manera que${\displaystyle f(B(a,\delta )\cap A)\subset C}$. Entonces tenemos${\displaystyle F(B(a,\delta /6))\subset C}$mediante la desigualdad anterior, completando así la demostración de la continuidad.${\displaystyle \square }$

El artículo comenzó como una traducción automática (ChatGPT) del artículo correspondiente en la Wikipedia en francés..

• Extensor absoluto