Operador de Dunkl

En matemáticas , particularmente en el estudio de los grupos de Lie , un operador de Dunkl es un cierto tipo de operador matemático que involucra operadores diferenciales , pero también reflexiones en un espacio subyacente.

Formalmente, sea G un grupo de Coxeter con sistema de raíces reducido R y k _v una función de "multiplicidad" arbitraria en R (de modo que k _u = k _v siempre que las reflexiones σ _u y σ _v correspondientes a las raíces u y v sean conjugadas en G ). Entonces, el operador de Dunkl se define por:

${\displaystyle T_{i}f(x)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(x)+\sum _{v\in R_{+}}k_{v}{\frac {f(x)-f(x\sigma _{v})}{\left\langle x,v\right\rangle }}v_{i}}$

dónde${\displaystyle v_{i}}$es el i -ésimo componente de v , 1 ≤ i ≤ N , x en R ^N , y f una función suave en R ^N.

Los operadores de Dunkl fueron introducidos por Charles Dunkl ( 1989 ) . Uno de los principales resultados de Dunkl fue que los operadores de Dunkl "conmutan", es decir, satisfacen ${\displaystyle T_{i}(T_{j}f(x))=T_{j}(T_{i}f(x))}$Al igual que las derivadas parciales. Por lo tanto, los operadores de Dunkl representan una generalización significativa de las derivadas parciales.

• Dunkl, Charles F. (1989), "Operadores diferenciales-diferenciales asociados a grupos de reflexión", Transactions of the American Mathematical Society , 311 (1): 167– 183, doi : 10.2307/2001022 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 2001022 , MR 0951883