Estabilidad hidrodinámica

Una herramienta clave para determinar la estabilidad de un flujo es el número de Reynolds (Re), propuesto por primera vez por George Gabriel Stokes a principios de la década de 1850. Asociado con Osborne Reynolds, quien desarrolló aún más la idea a principios de la década de 1880, este número adimensional proporciona la relación entre los términos inerciales y los términos viscosos . ^{[ 4 ]} En un sentido físico, este número es una relación entre las fuerzas debidas al momento del fluido (términos inerciales) y las fuerzas que surgen del movimiento relativo de las diferentes capas de un fluido en movimiento (términos viscosos). La ecuación para esto es ^{[ 2 ]}$${\displaystyle R_{e}={\frac {\text{inercial}}{\text{viscoso}}}={\frac {\rho u^{2}}{\frac {\mu u}{L}}}={\frac {\rho uL}{\mu }}={\frac {uL}{\nu }}}$$ dónde

El número de Reynolds es útil porque puede proporcionar puntos de corte para determinar cuándo el flujo es estable o inestable, es decir, el número crítico de Reynolds.${\displaystyle R_{c}}$. A medida que aumenta, la amplitud de una perturbación que podría conducir a la inestabilidad se reduce. ^{[ 1 ]} Se acepta que a números de Reynolds altos los flujos de fluidos serán inestables. Un número de Reynolds alto se puede lograr de varias maneras, por ejemplo, si${\displaystyle \mu }$es un valor pequeño o si${\displaystyle \rho }$y${\displaystyle {\text{u}}}$son valores altos. ^{[ 2 ]} Esto significa que surgirán inestabilidades casi inmediatamente y el flujo se volverá inestable o turbulento. ^{[ 1 ]}

Para encontrar analíticamente la estabilidad de los flujos de fluidos, es útil notar que la estabilidad hidrodinámica tiene mucho en común con la estabilidad en otros campos, como la magnetohidrodinámica , la física de plasmas y la elasticidad ; aunque la física es diferente en cada caso, las matemáticas y las técnicas utilizadas son similares. El problema esencial se modela mediante ecuaciones diferenciales parciales no lineales y se examina la estabilidad de soluciones estacionarias y no estacionarias conocidas. ^{[ 1 ]} Las ecuaciones que rigen casi todos los problemas de estabilidad hidrodinámica son la ecuación de Navier-Stokes y la ecuación de continuidad . La ecuación de Navier-Stokes viene dada por: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla p_{0}+\mathbf {b} ,}$$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {u} }$es el campo de velocidad del fluido
• ${\displaystyle p_{0}}$es la presión del fluido
• ${\displaystyle \mathbf {b} }$es la fuerza del cuerpo que actúa sobre un fluido, por ejemplo, la gravedad.
• ${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática
• ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$derivada parcial del campo de velocidad con respecto al tiempo
• ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$es el operador gradiente

Aquí${\displaystyle \nabla }$se está utilizando como un operador que actúa sobre el campo de velocidad en el lado izquierdo de la ecuación y luego actúa sobre la presión en el lado derecho.

y la ecuación de continuidad viene dada por: $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}+\rho \,\nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$ dónde${\displaystyle {\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}}$es la derivada material de la densidad.

Una vez más${\displaystyle \nabla }$se está utilizando como operador en${\displaystyle \mathbf {u} }$y está calculando la divergencia de la velocidad.

Pero si el fluido que se está considerando es incompresible , lo que significa que la densidad es constante, entonces${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\rho }}}{Dt}}=0}$y por lo tanto: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

La suposición de que un flujo es incompresible es válida y se aplica a la mayoría de los fluidos que se desplazan a casi cualquier velocidad. Este tipo de suposiciones ayuda a simplificar la ecuación de Navier-Stokes, transformándola en ecuaciones diferenciales, como la ecuación de Euler, que son más fáciles de manejar.

Si se considera un flujo no viscoso, donde las fuerzas viscosas son pequeñas y, por lo tanto, pueden despreciarse en los cálculos, se llega a las ecuaciones de Euler : $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla p_{0}}$$

Si bien en este caso hemos supuesto un fluido no viscoso, esta suposición no se cumple para flujos con frontera. La presencia de una frontera genera cierta viscosidad en la capa límite , la cual no puede despreciarse, lo que nos lleva de nuevo a la ecuación de Navier-Stokes. Encontrar las soluciones a estas ecuaciones en diferentes circunstancias y determinar su estabilidad es el principio fundamental para determinar la estabilidad del flujo del fluido.

Para determinar si un flujo es estable o inestable, se suele emplear el método de análisis de estabilidad lineal. En este tipo de análisis, las ecuaciones que rigen el flujo y las condiciones de contorno se linealizan. Esto se basa en el hecho de que el concepto de «estable» o «inestable» se fundamenta en una perturbación infinitesimal. Para tales perturbaciones, es razonable suponer que las perturbaciones de diferentes longitudes de onda evolucionan de forma independiente. (Una ecuación que rija el flujo no lineal permitirá que las perturbaciones de diferentes longitudes de onda interactúen entre sí).

La teoría de bifurcaciones es una herramienta útil para estudiar la estabilidad de un flujo dado, considerando los cambios que ocurren en la estructura del sistema. La estabilidad hidrodinámica se define mediante una serie de ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Una bifurcación se produce cuando un pequeño cambio en los parámetros del sistema provoca un cambio cualitativo en su comportamiento. ^{[ 1 ]} El parámetro que se modifica en el caso de la estabilidad hidrodinámica es el número de Reynolds. Se puede demostrar que la aparición de bifurcaciones coincide con la aparición de inestabilidades. ^{[ 1 ]}

Los experimentos de laboratorio son una forma muy útil de obtener información sobre un flujo determinado sin necesidad de utilizar técnicas matemáticas más complejas. A veces, observar físicamente el cambio en el flujo a lo largo del tiempo resulta tan útil como un enfoque numérico, y los resultados de estos experimentos pueden relacionarse con la teoría subyacente. El análisis experimental también es útil porque permite variar fácilmente los parámetros que rigen el proceso y observar sus efectos.

Al abordar teorías matemáticas más complejas, como la teoría de bifurcación y la teoría débilmente no lineal, la resolución numérica de estos problemas resulta muy difícil y laboriosa, pero con la ayuda de las computadoras este proceso se simplifica y agiliza considerablemente. Desde la década de 1980, el análisis computacional se ha vuelto cada vez más útil; la mejora de los algoritmos que pueden resolver las ecuaciones que rigen el flujo, como la ecuación de Navier-Stokes, permite una integración más precisa para diversos tipos de flujo.

La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (IKH) es una aplicación de la estabilidad hidrodinámica que se observa en la naturaleza. Ocurre cuando dos fluidos fluyen a velocidades diferentes. La diferencia de velocidad entre los fluidos genera una velocidad de cizallamiento en la interfaz de las dos capas. ^{[ 3 ]} La velocidad de cizallamiento de un fluido induce una tensión de cizallamiento en el otro que, si es mayor que la tensión superficial de restricción , produce una inestabilidad en la interfaz entre ellos. ^{[ 3 ]} Este movimiento provoca la aparición de una serie de olas oceánicas que se vuelcan, una característica de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz. De hecho, la aparente naturaleza de olas oceánicas es un ejemplo de formación de vórtices , que se forman cuando un fluido gira alrededor de un eje, y a menudo se asocia con este fenómeno.

La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz se puede observar en las bandas de las atmósferas planetarias, como las de Saturno y Júpiter , por ejemplo, en el vórtice de la Gran Mancha Roja. En la atmósfera que rodea la Gran Mancha Roja se encuentra el mayor ejemplo conocido de inestabilidad de Kelvin-Helmholtz, causada por la fuerza de cizallamiento en la interfaz de las diferentes capas de la atmósfera de Júpiter. Se han capturado numerosas imágenes donde se aprecian claramente las características similares a las olas del océano descritas anteriormente, con hasta cuatro capas de cizallamiento visibles. ^{[ 5 ]}

Los satélites meteorológicos aprovechan esta inestabilidad para medir la velocidad del viento sobre grandes masas de agua. Las olas se generan por el viento, que corta la superficie del agua en la interfaz entre esta y el aire circundante. Los ordenadores a bordo de los satélites determinan la rugosidad del océano midiendo la altura de las olas. Esto se realiza mediante radar , donde se transmite una señal de radio a la superficie y se registra el retardo de la señal reflejada, conocido como "tiempo de vuelo". A partir de esto, los meteorólogos pueden comprender el movimiento de las nubes y la turbulencia atmosférica prevista cerca de ellas.

La inestabilidad de Rayleigh-Taylor es otra aplicación de la estabilidad hidrodinámica y también ocurre entre dos fluidos, pero esta vez las densidades de los fluidos son diferentes. ^{[ 6 ]} Debido a la diferencia de densidades, los dos fluidos intentarán reducir su energía potencial combinada . ^{[ 7 ]} El fluido menos denso hará esto intentando abrirse paso hacia arriba, y el fluido más denso intentará abrirse paso hacia abajo. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, hay dos posibilidades: si el fluido más ligero está arriba, se dice que la interfaz es estable, pero si el fluido más pesado está arriba, entonces el equilibrio del sistema es inestable ante cualquier perturbación de la interfaz. Si este es el caso, entonces ambos fluidos comenzarán a mezclarse. ^{[ 6 ]} Una vez que una pequeña cantidad de fluido más pesado se desplaza hacia abajo con un volumen igual de fluido más ligero hacia arriba, la energía potencial ahora es menor que el estado inicial, ^{[ 7 ]} por lo tanto, la perturbación crecerá y conducirá al flujo turbulento asociado con las inestabilidades de Rayleigh-Taylor. ^{[ 6 ]}

Este fenómeno se puede observar en el gas interestelar , como en la Nebulosa del Cangrejo . Los campos magnéticos y los rayos cósmicos lo empujan fuera del plano galáctico y, si lo empujan más allá de su altura de escala normal, se vuelve inestable según la ley de Rayleigh-Taylor . ^{[ 6 ]} Esta inestabilidad también explica la nube en forma de hongo que se forma en procesos como erupciones volcánicas y bombas atómicas.

La inestabilidad de Rayleigh-Taylor tiene un gran impacto en el clima de la Tierra. Los vientos que provienen de las costas de Groenlandia e Islandia provocan la evaporación de la superficie oceánica por la que pasan, aumentando la salinidad del agua cercana a la superficie y haciendo que esta sea más densa. Esto genera columnas de agua que impulsan las corrientes oceánicas . Este proceso actúa como una bomba de calor, transportando agua cálida ecuatorial hacia el norte. Sin la circulación oceánica, el norte de Europa probablemente sufriría descensos drásticos de temperatura. ^{[ 6 ]}

La presencia de partículas coloidales (típicamente con un tamaño comprendido entre 1 nanómetro y 1 micra), uniformemente dispersas en una mezcla líquida binaria, puede generar una inestabilidad hidrodinámica convectiva, incluso cuando el sistema se encuentra inicialmente en un estado de equilibrio gravitacional estable (lo contrario a la inestabilidad de Rayleigh-Taylor descrita anteriormente). Si un líquido contiene un soluto molecular más pesado cuya concentración disminuye con la altura, el sistema es gravitacionalmente estable. De hecho, si una porción de fluido asciende debido a una fluctuación espontánea, terminará rodeada por un fluido menos denso y, por lo tanto, será empujada hacia abajo. Este mecanismo, por consiguiente, inhibe los movimientos convectivos. Sin embargo, se ha demostrado que este mecanismo falla si la mezcla binaria contiene partículas coloidales uniformemente dispersas. En ese caso, se producen movimientos convectivos incluso si el sistema es gravitacionalmente estable. ^{[ 8 ]} El fenómeno clave para comprender esta inestabilidad es la difusioforesis : para minimizar la energía interfacial entre la partícula coloidal y la solución líquida, el gradiente del soluto molecular determina una migración interna de los coloides que los lleva hacia arriba, agotándolos así en el fondo. En otras palabras, dado que los coloides son ligeramente más densos que la mezcla líquida, esto conduce a un aumento local de la densidad con la altura. Esta inestabilidad, incluso en ausencia de un gradiente térmico, causa movimientos convectivos similares a los observados cuando un líquido se calienta desde el fondo (conocido como convección de Rayleigh-Bénard ), donde la migración ascendente se debe a la dilatación térmica y conduce a la formación de patrones . ^{[ 8 ]} Esta inestabilidad explica cómo los animales obtienen sus intrincados y distintivos patrones, como las coloridas rayas de los peces tropicales. ^{[ 9 ]}