Teorema del punto fijo de Earle-Hamilton

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Earle-Hamilton es un resultado de la teoría de funciones geométricas que proporciona condiciones suficientes para que una aplicación holomorfa de un dominio abierto en un espacio de Banach complejo sobre sí mismo tenga un punto fijo. El resultado fue demostrado en 1968 por Clifford Earle y Richard S. Hamilton, quienes mostraron que, con respecto a la métrica de Carathéodory en el dominio, la aplicación holomorfa se convierte en una aplicación de contracción a la que se puede aplicar el teorema del punto fijo de Banach .

Sea D un subconjunto abierto conexo de un espacio de Banach complejo X y sea f una aplicación holomorfa de D en sí mismo tal que:

• La imagen f ( D ) está acotada en norma;
• La distancia entre los puntos f ( D ) y los puntos en el exterior de D está limitada inferiormente por una constante positiva.

Entonces, la aplicación f tiene un único punto fijo x en D y si y es cualquier punto en D , las iteraciones f ⁿ ( y ) convergen a x .

Sustituyendo D por un entorno ε de f ( D ), se puede suponer que D está acotado en norma.

Para z en D y v en X , se establece

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (z,v)=\sup _ {g}|g^{\prime }(z)v|,}}$

donde el supremo se toma sobre todas las funciones holomorfas g en D con | g ( z )| < 1.

Definimos la longitud α de una curva diferenciable por partes γ:[0,1]${\displaystyle \rightarrow }$D por

${\displaystyle \displaystyle {\ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\alpha (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}}$

La métrica de Carathéodory se define por

${\displaystyle \displaystyle {d(x,y)=\inf _{\gamma (0)=x,\gamma (1)=y}\ell (\gamma )}}$

para x e y en D. Es una función continua en D x D para la topología de norma.

Si el diámetro de D es menor que R , entonces, tomando funciones holomorfas adecuadas g de la forma

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=a(z)+b}}$

con a en X * y b en C , se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (z,v)\geq \|v\|/R,}}$

y por lo tanto que

${\displaystyle \displaystyle {d(x,y)\geq \|xy\|/R.}}$

En particular , d define una métrica en D.

La regla de la cadena

${\displaystyle \displaystyle {(g\circ f)^{\prime }(z)=g^{\prime }(f(z))f^{\prime }(z)}}$

implica que

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (f(z),f^{\prime }(z)v)\leq \alpha (z,v)}}$

y por lo tanto f satisface la siguiente generalización de la desigualdad de Schwarz-Pick :

${\displaystyle \displaystyle {d(f(x),f(y))\leq d(x,y).}}$

Para δ suficientemente pequeño e y fijo en D , la misma desigualdad puede aplicarse a la aplicación holomorfa.

${\displaystyle \displaystyle {f_{\delta,y}(z)=f(z)+\delta (f(z)-f(y))}}$

y produce la estimación mejorada:

${\displaystyle \displaystyle {d(f(x),f(y))\leq (1+\delta )^{-1}d(x,y).}}$

El teorema del punto fijo de Banach se puede aplicar a la restricción de f al cierre de f ( D ) en el que d define una métrica completa, definiendo la misma topología que la norma.

En dimensiones finitas, la existencia de un punto fijo a menudo se puede deducir del teorema del punto fijo de Brouwer sin recurrir a la holomorfía de la aplicación. En el caso de dominios simétricos acotados con la métrica de Bergman , Neretin (1996) y Clerc (1998) demostraron que se aplica el mismo esquema de demostración que el utilizado en el teorema de Earle-Hamilton. El dominio simétrico acotado D = G / K es un espacio métrico completo para la métrica de Bergman. El semigrupo abierto de la complejización G _c que toma la clausura de D en D actúa mediante aplicaciones de contracción , por lo que nuevamente se puede aplicar el teorema del punto fijo de Banach. Neretin extendió este argumento por continuidad a algunos dominios simétricos acotados de dimensión infinita, en particular el disco generalizado de Siegel de operadores simétricos de Hilbert-Schmidt con norma de operador menor que 1. El teorema de Earle-Hamilton se aplica igualmente bien en este caso.

• Earle, Clifford J.; Hamilton, Richard S. (1970), Un teorema de punto fijo para aplicaciones holomorfas , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, vol.  XVI, Sociedad Matemática Americana, págs . 61–65 
• Neretin, YA (1996), Categorías de simetrías y grupos de dimensión infinita , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres, vol.  16, Oxford University Press, ISBN 0-19-851186-8
• Clerc, Jean-Louis (1998), "Compresiones y contracciones de espacios simétricos hermitianos", Math. Z. , 229 : 1– 8, doi : 10.1007/pl00004648 , S2CID 122333415