paradoja de Earnshaw

En dinámica de fluidos , la paradoja de Earnshaw es una paradoja física relacionada con el estudio de las ondas sonoras en un fluido ideal no viscoso . Según el sentido común, las ondas sonoras pueden viajar largas distancias en el aire con poca o ninguna atenuación . En cambio, se puede demostrar que no pueden surgir ondas con forma permanente en un gas donde las ondas sonoras vibran adiabáticamente . ^{[ 1 ]} La paradoja surge porque se imponen demasiadas aproximaciones al problema. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Esta paradoja recibe su nombre de Samuel Earnshaw , quien la describió en 1860. ^{[ 4 ]} Este fue un tema clave para el desarrollo de la teoría de las ondas de choque . ^{[ 5 ]}

En 1848, George Stokes y James Challis observaron problemas con la teoría ondulatoria para grandes perturbaciones. ^{[ 6 ]}

El clérigo y naturalista Samuel Earnshaw analizó en 1860 ^{[ 7 ] [ 8 ]} la posibilidad de que el sonido viajara a diferentes velocidades según su intensidad, concluyendo: «Si la teoría aquí expuesta fuera cierta, el disparo de armas de fuego debería viajar más rápido que la voz humana, y el trueno más rápido que el disparo de un cañón». También observó, durante un fuerte rayo, un menor intervalo entre el destello y el sonido. Para respaldar su teoría, publicó otro artículo ^{[ 4 ]} con su paradoja, demostrando que el sonido no puede viajar de forma ideal. ^{[ 9 ]}

George Stokes, secretario de la Royal Society, pidió a Lord Kelvin que revisara el artículo sobre la paradoja. Kelvin se opuso inicialmente a su publicación. ^{[ 10 ]}

En un fluido no viscoso donde un tren de ondas planas se mueve con amplitud, frecuencia y velocidad constantes (velocidad normal a los frentes de onda), un observador que se mueve a la misma velocidad ve un movimiento independiente del tiempo. Eligiendo x como la dirección de propagación en 1D, la densidad${\textstyle \rho (x)}$y la velocidad del flujo${\textstyle u(x)}$, el principio de Bernoulli (despreciando la gravedad ) implica ^{[ 1 ] [ 11 ]}$${\displaystyle u\mathrm {d} u+{\frac {\mathrm {d} p}{\rho }}=0,}$$dónde${\textstyle p(x)}$es la presión del fluido. Además, la ecuación de continuidad se reduce a${\textstyle \rho u=C={\text{constante}}}$Esto permite derivar una ecuación de estado dada por

$${\displaystyle \mathrm {d} p=C^{2}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\rho ^{2}}}.}$$Por lo tanto, las ondas solo son posibles si el fluido tiene la siguiente ecuación de estado.$${\displaystyle p=p_{0}-{\frac {C^{2}}{\rho }},}$$dónde${\textstyle p_{0}}$es una constante.

No se conoce ningún gas que siga esta ecuación de estado adiabática . La razón es que$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{2}}{\mathrm {d} \rho ^{2}}}<0,}$$lo cual viola la segunda ley de la termodinámica . ^{[ 1 ] [ 11 ] [ 12 ]}

El problema con la paradoja de Earnshaw es que supone que las ondas viajan adiabáticamente, sin disipación. La paradoja implica que una onda de amplitud finita no puede mantener una forma fija y deben introducirse efectos no lineales. ^{[ 11 ]} Las regiones de mayor presión viajan más rápido que las regiones de menor presión, lo que provoca que las ondas se empinen y formen ondas de choque . ^{[ 1 ]}

WJM Rankine (1870) y posteriormente Pierre Henri Hugoniot (1887, 1889) desarrollaron un modelo termodinámico más realista dado por las condiciones de Rankine-Hugoniot , mostrando que el flujo no era isentrópico . ^{[ 5 ] [ 10 ]}