Rutas de la sección terrestre

Para definir el plano de sección, seleccione cualquier tercer punto.${\displaystyle R_{0}}$no en la línea de${\displaystyle R_{1}}$a${\displaystyle R_{2}}$. Elegir${\displaystyle R_{0}}$estar en la superficie normal en${\displaystyle P_{1}}$definirá la sección normal en${\displaystyle P_{1}}$. Si${\displaystyle R_{0}}$Si el origen es entonces la sección de la Tierra es la gran elipse. (El origen sería colineal con 2 puntos antipodales, por lo que en ese caso se debe usar un punto diferente). Dado que hay infinitas opciones para${\displaystyle R_{0}}$El problema anterior es en realidad una clase de problemas (uno para cada plano). Sea${\displaystyle R_{0}}$se dará. Para poner la ecuación del plano en la forma estándar,${\displaystyle lx+my+nz=d}$, dónde${\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1}$, requiere los componentes de un vector unitario ,${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(l,m,n)}$, normal al plano de sección. Estos componentes se pueden calcular de la siguiente manera: El vector desde${\displaystyle R_{0}}$a${\displaystyle R_{1}}$es${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} -\mathbf {R_{0}} }$y el vector de${\displaystyle R_{1}}$a${\displaystyle R_{2}}$es${\displaystyle \mathbf {V_{1}} =\mathbf {R_{2}} -\mathbf {R_{1}} }$. Por lo tanto,${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {V_{1}} )}$), dónde${\displaystyle \mathrm {unidad} (\mathbf {V} )}$es el vector unitario en la dirección de${\displaystyle \mathbf {V} }$. La convención de orientación utilizada aquí es que${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$apunta a la izquierda del camino. Si este no es el caso, entonces redefina.${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =-\mathbf {V_{0}} }$. Finalmente, el parámetro d para el plano se puede calcular utilizando el producto escalar de${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$con un vector desde el origen a cualquier punto del plano, como por ejemplo:${\displaystyle R_{1}}$, es decir${\displaystyle d=\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R_{1}} }$La ecuación del plano (en forma vectorial) es, por lo tanto,${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R} =d}$, dónde${\displaystyle \mathbf {R} }$es el vector de posición de${\displaystyle (x,y,z)}$.

El análisis de la transformación de ENU a ECEF revela que las coordenadas ECEF de un vector unitario que apunta hacia el este en cualquier punto del elipsoide son:${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} =(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)}$, un vector unitario que apunta al norte es${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =(-\sin \phi \cos \lambda ,-\sin \phi \sin \lambda ,\cos \phi )}$y un vector unitario que apunta hacia arriba es${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} =(\cos \phi \cos \lambda ,\cos \phi \sin \lambda ,\sin \phi )}$Un vector tangente a la trayectoria es: ${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {\hat {u}} }$por lo que el componente este de${\displaystyle \mathbf {t} }$es${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} }$y el componente norte es${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} }$Por lo tanto, el acimut se puede obtener a partir de una función arcotangente de dos argumentos .${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} ,\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} )}$. Utilice este método en ambos${\displaystyle P_{1}}$y${\displaystyle P_{2}}$Llegar${\displaystyle \alpha _{1}}$y${\displaystyle \alpha _{2}}$.

La intersección (no trivial) de un plano y un elipsoide es una elipse. Por lo tanto, la longitud del arco,${\displaystyle s_{12}}$, en la ruta de la sección desde${\displaystyle P_{1}}$a${\displaystyle P_{2}}$es una integral elíptica que puede calcularse con la precisión deseada mediante una serie truncada o integración numérica . Antes de poder hacerlo, se debe definir la elipse y calcular los límites de integración. Sea el elipsoide dado por${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$y dejar${\displaystyle p={\sqrt {l^{2}+m^{2}}}}$. Si${\displaystyle p=0}$entonces la sección es un círculo horizontal de radio${\textstyle a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{b^{2}}}}}}$, que no tiene solución si${\displaystyle |d|>b}$.

Si${\displaystyle p>0}$Luego Gilbertson ^{[ 1 ]} demostró que las coordenadas ECEF del centro de la elipse son${\textstyle {R_{c}}={\frac {d}{C}}(la^{2},ma^{2},nb^{2})}$, dónde${\displaystyle C=a^{2}p^{2}+b^{2}n^{2}}$,

El semieje mayor es${\textstyle a^{*}=a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{C}}}}}$, en la dirección${\textstyle \mathbf {{\hat {i}}^{*}} =\left({\frac {m}{p}},{\frac {-l}{p}},0\right)}$y el semieje menor es${\textstyle b^{*}={\frac {b}{\sqrt {C}}}a^{*}}$, en la dirección${\textstyle \mathbf {{\hat {j}}^{*}} =\left({\frac {ln}{p}},{\frac {mn}{p}},-p\right)}$, que no tiene solución si${\displaystyle |d|>{\sqrt {C}}}$.

El artículo mencionado anteriormente proporciona una derivación para una fórmula de longitud de arco que involucra el ángulo central y potencias de${\displaystyle e^{2}}$para calcular la longitud del arco con precisión milimétrica, donde${\textstyle e^{2}=1-\left({\frac {b^{*}}{a^{*}}}\right)^{2}}$. Esa fórmula de longitud de arco se puede reorganizar y poner en la forma: ${\displaystyle s_{12}=s(\theta _{2})-s(\theta _{1})}$, dónde ${\displaystyle s(\theta )=b^{*}({C_{0}}\theta +{C_{2}}\sin(2\theta )+{C_{4}}\sin(4\theta )+{C_{6}}\sin(6\theta ))}$y los coeficientes son

${\displaystyle C_{0}=1.0+e^{2}(1/4+13e^{2}/64+45e^{4}/256+2577e^{6}/16384)}$

${\displaystyle C_{2}=e^{2}(1/8+3e^{2}/32+95e^{4}/1024+385e^{6}/4096)}$

${\displaystyle C_{4}=-e^{4}(1/256+5e^{2}/1024+19e^{4}/16384)}$

${\displaystyle C_{6}=-e^{6}(15/3072+35e^{2}/4096)}$

Para calcular el ángulo central, sea${\displaystyle P}$ser cualquier punto en la elipse de la sección y${\displaystyle R=\mathrm {ECEF} (P)}$. Entonces${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} -\mathbf {R_{c}} }$es un vector desde el centro de la elipse hasta el punto. El ángulo central${\displaystyle \theta }$es el ángulo desde el semieje mayor hasta${\displaystyle \mathbf {V} }$Alquiler${\displaystyle \mathbf {\hat {V}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V} )}$, tenemos${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {j}}^{*}} ,\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {i}}^{*}} )}$De esta manera obtenemos${\displaystyle \theta _{1}}$y${\displaystyle \theta _{2}}$.

Por otro lado, es posible utilizar fórmulas de arco meridiano en el caso más general, siempre que se utilicen los parámetros de la elipse de sección en lugar de los parámetros del esferoide. Una de estas series de rápida convergencia se da en Series en términos de la latitud paramétrica . Si utilizamos${\displaystyle \varepsilon }$para denotar la excentricidad del esferoide, es decir${\textstyle \varepsilon ^{2}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}$, entonces${\displaystyle e^{8}}$≤${\displaystyle \varepsilon ^{8}}$≅1,8 × 10 ⁻⁹ . De manera similar, el tercer aplanamiento de la elipse de sección está limitado por el valor correspondiente para el esferoide, y para el esferoide tenemos${\displaystyle n^{3}}$≅4,4 × 10 ⁻⁹ , y${\displaystyle n^{4}}$≅7,3 × 10 ⁻¹² . Por lo tanto, puede ser suficiente ignorar los términos más allá de${\displaystyle B_{6}}$en la serie de latitud paramétrica. Para aplicar${\textstyle s(\beta )={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta )}$en el contexto actual requiere convertir el ángulo central al ángulo paramétrico usando${\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left(\tan \theta /((1-f)\right)}$y utilizando la tercera sección de aplanamiento de la elipse. Cualquiera que sea el método que se utilice, se debe tener cuidado al usar${\displaystyle \theta _{1}}$&${\displaystyle \theta _{2}}$o${\displaystyle \beta _{1}}$&${\displaystyle \beta _{2}}$para asegurar que se utilice el arco más corto que conecta los 2 puntos.

La respuesta a este problema depende de la elección de${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$. es decir, en el tipo de sección. Observe que${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$no debe estar en span{${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1},\mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$} (de lo contrario, el plano sería tangente a la tierra en${\displaystyle {P_{1}}}$, por lo que no resultaría ningún camino). Habiendo hecho tal elección, y considerando la orientación, proceda de la siguiente manera. Construya el vector tangente en${\displaystyle {P_{1}}}$,${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{1}=\mathbf {\hat {n}} _{1}\cos {\alpha _{1}}+\mathbf {{\hat {e}}_{1}} \sin {\alpha _{1}}}$, dónde${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$son vectores unitarios que apuntan al norte y al este (respectivamente) en${\displaystyle {P_{1}}}$. El vector normal${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {\hat {t}} _{1}}$), junto con${\displaystyle \mathbf {P_{1}} }$define el plano. En otras palabras, la tangente toma el lugar de la cuerda ya que el destino es desconocido.

Este es un problema bidimensional en span{${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ^{*},\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$}, que se resolverá con la ayuda de la fórmula de longitud de arco anterior. Si la longitud de arco,${\displaystyle s_{12}}$Si se da un valor, el problema consiste en encontrar el cambio correspondiente en el ángulo central. ${\displaystyle \theta _{12}}$, de modo que${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta _{12}}$y la posición se puede calcular. Suponiendo que tenemos una serie que da${\displaystyle s=s(\theta )}$Entonces, lo que buscamos ahora es${\displaystyle \theta _{2}=s^{-1}(s_{1}+s_{12})}$. La inversa de la serie de longitud de arco del ángulo central anterior se puede encontrar en la página 8a de Rapp, Vol. 1, ^{[ 2 ]} quien le da crédito a Ganshin. ^{[ 3 ]} Una alternativa al uso de la serie inversa es usar el método de Newton de aproximaciones sucesivas a${\displaystyle \theta _{12}}$El problema del meridiano inverso para el elipsoide proporciona la inversa de la serie de longitud de arco de Bessel en términos del ángulo paramétrico. Antes de poder utilizar la serie inversa, se debe utilizar la serie de ángulo paramétrico para calcular la longitud de arco desde el semieje mayor hasta${\displaystyle P_{1}}$,${\textstyle s_{1}=s(\beta _{1})={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta _{1}+B_{2}\sin 2\beta _{1}+B_{4}\sin 4\beta _{1}+B_{6}\sin 6\beta _{1})}$. Una vez${\displaystyle s_{1}}$Se sabe que se aplica la fórmula inversa para obtener${\displaystyle \beta _{2}=\beta (s_{1}+s_{12})=\mu _{2}+B'_{2}\sin 2\mu _{2}+B'_{4}\sin 4\mu _{2}+B'_{6}\sin 6\mu _{2}}$, dónde${\displaystyle \mu _{2}=2(s_{1}+s_{12})/(B_{0}(a^{*}+b^{*}))}$Las coordenadas rectangulares en el plano de sección son${\displaystyle x_{2}=a^{*}\cos \beta _{2},y_{2}=b^{*}\sin \beta _{2}}$. Por lo tanto, se puede calcular un vector ECEF utilizando${\displaystyle \mathbf {V_{2}} =\mathbf {R_{c}} +(x_{2}\mathbf {{\hat {i}}^{*}} +y_{2}\mathbf {{\hat {j}}^{*}} )}$. Finalmente, calcule las coordenadas geográficas mediante${\displaystyle P_{2}=\mathrm {Geo} (V_{2})}$utilizando el algoritmo de Bowring de 1985, ^{[ 4 ]} o el algoritmo que se muestra aquí .

El acimut se puede obtener mediante el mismo método que en el problema indirecto:${\displaystyle \mathbf {t_{2}} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {{\hat {u}}_{2}} }$y${\displaystyle {\alpha _{2}}=\operatorname {atan2} (\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {n}}_{2}} )}$.

La elipse máxima es la curva formada al intersecar el elipsoide con un plano que pasa por su centro. Por lo tanto, para usar el método anterior, simplemente deje${\displaystyle R_{0}}$sea ​​el origen, para que${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} }$(el vector de posición de${\displaystyle R_{1}}$Este método evita las fórmulas esotéricas y a veces ambiguas de la trigonometría esférica y proporciona una alternativa a las fórmulas de Bowring. ^{[ 5 ]} El camino más corto entre dos puntos en un esferoide se conoce como geodésica. Dichos caminos se desarrollan utilizando geometría diferencial . El ecuador y los meridianos son grandes elipses que también son geodésicas ^{[ a ]} . La diferencia máxima de longitud entre una gran elipse y la geodésica correspondiente de longitud 5000 millas náuticas es de aproximadamente 10,5 metros. La desviación lateral entre ellas puede ser tan grande como 3,7 millas náuticas. Una sección normal que conecte los dos puntos estará más cerca de la geodésica que de la gran elipse, a menos que el camino toque el ecuador.

En el elipsoide WGS84 , los resultados para el gran arco elíptico desde Nueva York,${\displaystyle \phi _{1}}$= 40,64130°,${\displaystyle \lambda _{1}}$= -73,77810° a París,${\displaystyle \phi _{2}}$= 49,00970°,${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2,54800° son:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,596810°,${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111,537138° y${\displaystyle s_{12}}$= 5849159,753 (m) = 3158,293603 (nm). Los números correspondientes para la geodésica son:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,511007°,${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111,626714° y${\displaystyle s_{12}}$= 5849157,543 (m) = 3158,292410 (nm).

Para ilustrar la dependencia del tipo de sección para el problema directo, sea el acimut de salida y la distancia del viaje los de la geodésica anterior, y use la elipse máxima para definir el problema directo. En este caso, el punto de llegada es ${\displaystyle \phi _{2}}$= 49,073057°,${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2,586154°, que es aproximadamente 4,1 nm desde el punto de llegada en París definido anteriormente. Por supuesto, utilizando el acimut de salida y la distancia del problema indirecto de la gran elipse se ubicará correctamente el destino,${\displaystyle \phi _{2}}$= 49,00970°,${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2,54800°, y el acimut de llegada${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111,537138°.

Una sección normal en${\displaystyle P_{1}}$se determina dejando${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {\hat {u}} _{1}}$(la normal de la superficie en${\displaystyle P_{1}}$). Otra sección normal, conocida como sección normal recíproca, resulta de usar la normal de la superficie en${\displaystyle P_{2}}$A menos que ambos puntos se encuentren en el mismo paralelo o en el mismo meridiano, la sección normal recíproca será una trayectoria diferente a la de la sección normal. El enfoque anterior ofrece una alternativa a otros, como el de Bowring. ^{[ 7 ]} La ​​importancia de las secciones normales en topografía, así como un análisis del significado del término «línea» en este contexto, se presenta en el artículo de Deakin, Sheppard y Ross. ^{[ 8 ]}

En el elipsoide WGS84, los resultados para la sección normal de Nueva York,${\displaystyle \phi _{1}}$= 40,64130°,${\displaystyle \lambda _{1}}$= -73,77810° a París,${\displaystyle \phi _{2}}$= 49,00970°,${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2,54800° son:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,521396°,${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111,612516° y${\displaystyle s_{12}}$= 5849157,595 (m) = 3158,292438 (nm). El resultado para la sección normal recíproca de París a Nueva York es:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,509422°,${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111,624483° y${\displaystyle s_{12}}$= 5849157.545 (m) = 3158.292411 (nm). [※ Esto es incorrecto. Para una sección normal recíproca, el punto de partida, París, está al este del punto de llegada, Nueva York. Por lo tanto, el acimut debería naturalmente exceder los 180 grados, por lo que un acimut de partida de 53.509422 grados y un acimut de llegada de 111.624483 grados es un error. El acimut del punto de partida debería ser 291.624483 grados, aunque la distancia es correcta] La diferencia máxima en longitud entre una sección normal y la geodésica correspondiente de longitud 5000 millas náuticas es de aproximadamente 6.0 metros. La desviación lateral entre ellas puede ser tan grande como 2.8 millas náuticas.

Para ilustrar la dependencia del tipo de sección para el problema directo, sea el acimut de salida y la distancia del viaje los de la geodésica anterior, y use la normal de la superficie en NY para definir el problema directo. En este caso, el punto de llegada es ${\displaystyle \phi _{2}}$= 49,017378°,${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2,552626°, que está a aproximadamente 1/2 nm del punto de llegada definido anteriormente. Por supuesto, utilizando el acimut de salida y la distancia desde la sección normal, el problema indirecto ubicará correctamente el destino en París. Presumiblemente, el problema directo se utiliza cuando se desconoce el punto de llegada, aunque es posible utilizar cualquier vector.${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$uno complace. Por ejemplo, utilizando la normal de la superficie en París,${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} _{2}}$, resulta en un punto de llegada de${\displaystyle \phi _{2}}$= 49,007778°,${\displaystyle \lambda _{2}}$= 2,546842°, que es aproximadamente 1/8 nm del punto de llegada definido anteriormente. Usando la normal de superficie en Reikiavik (manteniendo el acimut de salida y la distancia de viaje de la geodésica a París) llegarás a unas 347 nm de París, mientras que la normal en Zúrich te deja a 5,5 nm.

La búsqueda de una sección más cercana a la geodésica dio lugar a los dos ejemplos siguientes.

La sección normal media de${\displaystyle P_{1}}$a${\displaystyle P_{2}}$se determina dejando${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =0.5(\mathbf {\hat {u}} _{1}+\mathbf {\hat {u}} _{2})}$Esta es una buena aproximación a la geodésica desde${\displaystyle P_{1}}$a${\displaystyle P_{2}}$Para aviación o navegación. La diferencia máxima de longitud entre la sección normal media y la geodésica correspondiente de 5000 millas náuticas es de aproximadamente 0,5 metros. La desviación lateral entre ellas no supera las 0,8 millas náuticas. Para trayectorias de 1000 millas náuticas, el error de longitud es inferior a un milímetro, y la desviación lateral en el peor de los casos es de aproximadamente 4,4 metros. Siguiendo el ejemplo de Nueva York a París en WGS84, se obtienen los siguientes resultados para la sección normal media:

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,515409°,${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111,618500° y${\displaystyle s_{12}}$= 5849157,560 (m) = 3158,292419 (nm).

La sección normal del punto medio de${\displaystyle P_{1}}$a${\displaystyle P_{2}}$se determina dejando${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$= la normal de la superficie en el punto medio de la geodésica desde${\displaystyle P_{1}}$a${\displaystyle P_{2}}$Esta trayectoria se aproxima solo ligeramente a la geodésica que la sección normal media. La diferencia máxima de longitud entre una sección normal de punto medio y la geodésica correspondiente de 5000 millas náuticas es de aproximadamente 0,3 metros. La desviación lateral máxima entre ambas es de aproximadamente 0,3 millas náuticas.

Al completar el ejemplo de Nueva York a París en WGS84, se obtienen los siguientes resultados para la sección normal del punto medio geodésico: ${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,506207°,${\displaystyle \alpha _{2}}$= 111,627697° y${\displaystyle s_{12}}$= 5849157,545 (m) = 3158,292411 (nm).

Todas las trayectorias de sección utilizadas en los gráficos de la derecha se definieron mediante el método indirecto descrito anteriormente. En el tercer y cuarto gráfico, el punto final se definió mediante el algoritmo directo para la geodésica con la distancia y el acimut inicial dados. En cada una de las geodésicas se seleccionaron algunos puntos, se localizó el punto más cercano en el plano de sección mediante proyección vectorial y se calculó la distancia entre ambos puntos. Esta distancia se denomina desviación lateral respecto a la geodésica, o simplemente desviación geodésica, y se muestra en los gráficos de la derecha. La alternativa de encontrar el punto correspondiente en la trayectoria de sección y calcular las distancias geodésicas produciría resultados ligeramente diferentes.

El primer gráfico es típico de los casos de latitudes medias, donde la elipse mayor es el valor atípico. La sección normal asociada al punto más alejado del ecuador es una buena opción para estos casos.

El segundo ejemplo es más largo y típico de los casos de cruce del ecuador, donde la elipse máxima supera a las secciones normales. Sin embargo, las dos secciones normales se desvían en lados opuestos de la geodésica, lo que hace que la sección normal media sea una buena opción en este caso.

El tercer gráfico muestra cómo varían las desviaciones geodésicas con un acimut geodésico inicial que parte de los 20 grados de latitud norte. La desviación máxima para tramos normales de 5000 millas náuticas es de aproximadamente 2,8 millas náuticas y se produce con un acimut geodésico inicial de 132° desde los 18° de latitud norte (48° de acimut para latitud sur).

El cuarto gráfico muestra cómo se ve el tercero al alejarse del ecuador. En el ecuador hay más simetrías, ya que las secciones a 90° y 270° de acimut también son geodésicas. Por consiguiente, el cuarto gráfico muestra solo 7 líneas distintas de las 24 con un espaciado de 15 grados. Específicamente, las líneas a 15, 75, 195 y 255 coinciden, al igual que las líneas a 105, 165, 285 y 345 en el otro lado como las más internas (aparte de las geodésicas). Las siguientes líneas coincidentes más alejadas de las cuatro líneas geodésicas se encuentran a 30, 60, 210 y 240 en un lado y a 120, 150, 300 y 330 en el otro. Las líneas más externas se encuentran en los acimuts 45 y 225 en un lado, y en los acimuts 135 y 315 en el otro. A medida que el punto de partida se desplaza hacia el norte, las líneas en los acimuts 90 y 270 dejan de ser geodésicas, y otras líneas coincidentes se separan y se extienden en abanico hasta los 18° de latitud, donde se alcanza la desviación máxima. Más allá de este punto, las desviaciones se contraen como un abanico japonés a medida que el punto inicial avanza hacia el norte. De modo que, a los 84° de latitud, la desviación máxima para secciones normales es de aproximadamente 0,25 millas náuticas.

La sección normal del punto medio es (casi) siempre una buena opción.

Encuentra el punto donde una sección desde Nueva York hasta París interseca el meridiano de Greenwich. El plano del meridiano de Greenwich se puede describir mediante:${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(0,1,0)}$y${\displaystyle d=0}$Los resultados son los siguientes:

La latitud máxima (o mínima) es donde la elipse de la sección interseca una paralela en un solo punto. Para plantear el problema, sea: ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{1}} =(l,m,n)}$,${\displaystyle d_{1}=d}$ Sea el plano de sección dado. El paralelo es ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{2}} =(0,0,1)}$,${\displaystyle d_{2}=z_{0}}$, dónde${\displaystyle z_{0}}$debe determinarse de manera que haya un solo punto de intersección. Al aplicar el método de intersección anterior se obtiene${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}=(m,-l,0)}$, ${\displaystyle {\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}=n}$, ${\textstyle C_{1}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})}$, y${\textstyle C_{2}={\frac {1}{p^{2}}}(z_{0}-nd)}$, desde${\displaystyle 1-n^{2}=l^{2}+m^{2}=p^{2}}$Las ecuaciones lineales resultantes se convierten en:${\displaystyle x=x_{0}+tm}$,${\displaystyle y=y_{0}-tl}$, y${\displaystyle z=z_{0}}$, dónde ${\displaystyle x_{0}=C_{1}l}$,${\displaystyle y_{0}=C_{1}m}$, y${\displaystyle z_{0}}$está por determinarse. Los coeficientes cuadráticos resultantes son ${\displaystyle A=m^{2}+l^{2}=p^{2}}$, ${\displaystyle B=mx_{0}-ly_{0}=lmC_{1}-lmC_{1}=0}$, ${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}=p^{2}C_{1}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$Por lo tanto, la intersección dará como resultado una única solución si${\displaystyle B^{2}=AC}$pero desde entonces${\displaystyle B=0}$y${\displaystyle A>0}$^{[ b ]} , la ecuación crítica se convierte en${\displaystyle C=0}$Esta ecuación puede reorganizarse y ponerse en la forma${\displaystyle Ez_{0}^{2}-2Fz_{0}+G=0}$, dónde ${\displaystyle E={\frac {a^{2}}{b^{2}}}p^{2}+n^{2}}$, ${\displaystyle F=nd}$, y ${\displaystyle G=d^{2}-a^{2}p^{2}}$. Por lo tanto,${\textstyle z_{0}={\frac {F\pm {\sqrt {{F}^{2}-EG}}}{E}}}$Proporciona la distancia desde el origen de los planos paralelos deseados.${\displaystyle z_{0}}$en${\displaystyle C_{1}}$da los valores para${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle y_{0}}$. Recuerda que${\displaystyle t=-B/A=0}$entonces${\displaystyle x=x_{0}}$,${\displaystyle y=y_{0}}$son las coordenadas restantes de las intersecciones. Las coordenadas geográficas se pueden calcular mediante la conversión ECEF_to_Geo.

El mismo método puede aplicarse a los meridianos para hallar longitudes extremas, pero los resultados no son fáciles de interpretar debido a la naturaleza modular de la longitud. Sin embargo, los resultados siempre pueden verificarse utilizando el siguiente método.

El enfoque más sencillo consiste en calcular los puntos finales de los ejes menor y mayor de la elipse de sección utilizando${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm b^{*}\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$, y ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm a^{*}\mathbf {\hat {i}} ^{*}}$y luego convertirlo a coordenadas geográficas. Cabe mencionar que la línea de intersección de dos planos consiste en el conjunto de puntos fijos, es decir, el eje de rotación, de una rotación de coordenadas que proyecta un plano sobre el otro.

Para el ejemplo de Nueva York a París, los resultados son: