La desigualdad de Eaton

En teoría de la probabilidad , la desigualdad de Eaton es una cota para los valores máximos de una combinación lineal de variables aleatorias acotadas . Esta desigualdad fue descrita en 1974 por Morris L. Eaton. ^{[ 1 ]}

Sea { X _i } un conjunto de variables aleatorias reales independientes , cada una con un valor esperado de cero y acotada superiormente por 1 ( | X _i | ≤ 1, para 1 ≤ i ≤ n ). Las variables no tienen por qué estar distribuidas de forma idéntica o simétrica. Sea { a _i } un conjunto de n números reales fijos con

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1.}$

Eaton demostró que

${\displaystyle P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\inf _{0\leq c\leq k}\int _{c}^{\infty }\left({\frac {zc}{kc}}\right)^{3}\phi (z)\,dz=2B_{E}(k),}$

donde φ ( x ) es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar .

Un encuadernado relacionado es el de Edelman.

${\displaystyle P\left(\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right|\geq k\right)\leq 2\left(1-\Phi \left[k-{\frac {1.5}{k}}\right]\right)=2B_{Ed}(k),}$

donde Φ( x ) es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar.

Pinelis ha demostrado que el límite de Eaton puede ser afilado: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle B_{EP}=\min\{1,k^{-2},2B_{E}\}}$

Se ha determinado un conjunto de valores críticos para el límite de Eaton. ^{[ 3 ]}

Sea { a _i } un conjunto de variables aleatorias de Rademacher independientes – P ( a _i = 1 ) = P ( a _i = −1 ) = 1/2. Sea Z una variable aleatoria con distribución normal con media 0 y varianza 1. Sea { b _i } un conjunto de n números reales fijos tales que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}=1.}$

Esta última condición es requerida por el teorema de Riesz-Fischer , que establece que

${\displaystyle a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

convergerá si y solo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}}$

es finito.

Entonces

${\displaystyle Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq Ef(Z)}$

para f (x) = | x | ^p . El caso para p ≥ 3 fue demostrado por Whittle ^{[ 4 ]} y p ≥ 2 fue demostrado por Haagerup. ^{[ 5 ]}

Si f (x) = e ^λx con λ ≥ 0 entonces

${\displaystyle Ef(a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n})\leq \inf \left[{\frac {E(e^{\lambda Z})}{e^{\lambda x}}}\right]=e^{-x^{2}/2}}$

donde inf es el ínfimo . ^{[ 6 ]}

Dejar

${\displaystyle S_{n}=a_{i}b_{i}+\cdots +a_{n}b_{n}}$

Entonces ^{[ 7 ]}

${\displaystyle P(S_{n}\geq x)\leq {\frac {2e^{3}}{9}}P(Z\geq x)}$

La constante en la última desigualdad es aproximadamente 4,4634.

También se conoce una cota alternativa: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle P(S_{n}\geq x)\leq e^{-x^{2}/2}}$

Este último límite está relacionado con la desigualdad de Hoeffding .

En el caso uniforme donde todos los b _i = n ^−1/2 el valor máximo de S _n es n ^1/2 . En este caso van Zuijlen ha demostrado que ^{[ 9 ]}

${\displaystyle P(|\mu -\sigma |)\leq 0.5\,}$

donde μ es la media y σ es la desviación estándar de la suma.