Teorema de Eberhard

En matemáticas , y más particularmente en combinatoria poliédrica , el teorema de Eberhard caracteriza parcialmente los multiconjuntos de polígonos que pueden formar las caras de poliedros convexos simples . Afirma que, para un número dado de triángulos, cuadriláteros, pentágonos, heptágonos y otros polígonos distintos de los hexágonos, existe un poliedro convexo con ese número dado de caras de cada tipo (y un número indeterminado de caras hexagonales) si y solo si ese número de polígonos satisface una ecuación lineal derivada de la fórmula poliédrica de Euler . ^{[ 1 ]}

El teorema recibe su nombre de Victor Eberhard , un matemático alemán ciego , quien lo publicó en 1888 en su tesis de habilitación y, de forma ampliada, en un libro sobre poliedros de 1891. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Para un poliedro convexo arbitrario, se pueden definir números${\displaystyle p_{3}}$,${\displaystyle p_{4}}$,${\displaystyle p_{5}}$, etc., donde${\displaystyle p_{i}}$cuenta las caras del poliedro que tienen exactamente${\displaystyle i}$lados. Un poliedro convexo tridimensional se define como simple cuando cada vértice del poliedro incide en exactamente tres aristas. En un poliedro simple, cada vértice incide en tres ángulos de las caras, y cada arista incide en dos lados de las caras. Dado que se conocen los números de ángulos y lados de las caras, se pueden calcular los tres números.${\displaystyle v}$(el número total de vértices),${\displaystyle e}$(el número total de aristas), y${\displaystyle f}$(el número total de caras), sumando sobre todas las caras y multiplicando por un factor apropiado: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle v={\frac {1}{3}}\sum _{i}i\,p_{i},\qquad e={\frac {1}{2}}\sum _{i}i\,p_{i},\qquad f=\sum _{i}p_{i}.}$$

Sustituyendo estos valores en la fórmula poliédrica de Euler${\displaystyle v-e+f=2}$y eliminando los denominadores se llega a la ecuación

${\displaystyle \sum _{i}(6-i)p_{i}=12,}$

que debe ser satisfecha por el número de caras de cada poliedro simple. Sin embargo, esta ecuación no se ve afectada por el valor de${\displaystyle p_{6}}$(como su multiplicador)${\displaystyle 6-i}$es cero), y, para algunas opciones de los otros recuentos de caras, cambiar${\displaystyle p_{6}}$puede cambiar si existe o no un poliedro con esos recuentos de caras. Es decir, obedecer esta ecuación sobre los recuentos de caras es una condición necesaria para la existencia de un poliedro, pero no una condición suficiente, y una caracterización completa de qué recuentos de caras son realizables necesitaría tener en cuenta el valor de${\displaystyle p_{6}}$. ^{[ 1 ]}

El teorema de Eberhard implica que la ecuación anterior es la única condición necesaria que no depende de${\displaystyle p_{6}}$. Afirma que, si se asigna un número a${\displaystyle p_{3},p_{4},p_{5},p_{7},\dots }$(omitiendo${\displaystyle p_{6}}$) obedece la ecuación

${\displaystyle \sum _{i}(6-i)p_{i}=12,}$

entonces existe un valor de${\displaystyle p_{6}}$y un poliedro convexo simple con exactamente${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle i}$-caras de lados para todos${\displaystyle i}$. ^{[ 1 ]}

Hay tres sólidos platónicos simples : el tetraedro , el cubo y el dodecaedro . El tetraedro tiene${\displaystyle p_{3}=4}$, el cubo tiene${\displaystyle p_{4}=6}$y el dodecaedro tiene${\displaystyle p_{5}=12}$, con todos los demás valores de${\displaystyle p_{i}}$siendo cero. Estas tres asignaciones de números a${\displaystyle p_{i}}$Todos obedecen la ecuación que el teorema de Eberhard exige que obedezcan. La existencia de estos poliedros muestra que, para estas tres asignaciones de números a${\displaystyle p_{i}}$, existe un poliedro con${\displaystyle p_{6}=0}$. El caso del dodecaedro, con${\displaystyle p_{5}=12}$y todos los demás excepto${\displaystyle p_{6}}$cero, describe de forma más general los fullerenos . No existe ningún fullereno con${\displaystyle p_{6}=1}$pero estos gráficos son realizables para cualquier otro valor de${\displaystyle p_{6}}$; ^{[ 4 ]} véase, por ejemplo, el gráfico de 26-fulerenos , con${\displaystyle p_{6}=3}$.

No existe un poliedro convexo simple con tres caras triangulares, tres caras pentagonales y ninguna otra cara. Es decir, es imposible tener un poliedro convexo simple con${\displaystyle p_{3}=p_{5}=3}$, y${\displaystyle p_{i}=0}$para${\displaystyle i\notin \{3,5\}}$Sin embargo, el teorema de Eberhard establece que debería ser posible formar un poliedro simple añadiendo un cierto número de hexágonos, y en este caso un hexágono es suficiente: al bisecar un cubo en un hexágono regular que pasa por seis de sus caras, se obtienen dos copias de un poliedro simple sin techo con tres caras triangulares, tres pentágonos y un hexágono. Es decir, al establecer${\displaystyle p_{6}=1}$En este caso, basta con producir una combinación realizable de recuentos de rostros. ^{[ 5 ]}

Un resultado análogo al teorema de Eberhard se cumple para la existencia de poliedros en los que todos los vértices inciden en exactamente cuatro aristas. En este caso, la ecuación derivada de la fórmula de Euler no se ve afectada por el número${\displaystyle p_{4}}$de cuadriláteros, y para cada asignación a los números de caras de otros tipos que obedece esta ecuación es posible elegir un número de cuadriláteros que permite realizar un poliedro 4-regular. ^{[ 1 ]}

Una versión reforzada del teorema de Eberhard establece que, bajo las mismas condiciones que el teorema original, existe un número${\displaystyle m}$de tal manera que todas las opciones de${\displaystyle p_{6}}$que son mayores o iguales a${\displaystyle m}$y tienen la misma paridad que${\displaystyle m}$son realizables mediante poliedros convexos simples. ^{[ 6 ]}

Un teorema de David W. Barnette proporciona una cota inferior sobre el número de hexágonos que se necesitan, siempre que el número de caras de orden siete o superior sea al menos tres. Afirma que, en estos casos,

${\displaystyle p_{6}\geq 2+{\frac {p_{3}}{2}}-{\frac {p_{5}}{2}}-\sum _{i>6}p_{i}.}$

Para polígonos con pocos pentágonos y muchas caras de orden superior, esta desigualdad puede forzar que el número de hexágonos sea arbitrariamente grande. Más aún, puede utilizarse para encontrar asignaciones a los números de caras para los cuales el número requerido de hexágonos no puede ser acotado por ninguna función del número máximo de lados de una cara. ^{[ 7 ]}

También se han estudiado análogos del teorema de Eberhard para otros sistemas de caras y recuentos de caras distintos de los poliedros convexos simples, por ejemplo, para grafos toroidales ^{[ 8 ]} y para teselaciones . ^{[ 9 ]}

• Teorema de Erdős-Gallai
• Teorema de Grinberg