Edgar Gilbert

La cota de Gilbert-Varshamov , demostrada independientemente en 1952 por Gilbert y en 1957 por Rom Varshamov, ^{[G52] [ 4 ]} es un teorema matemático que garantiza la existencia de códigos correctores de errores con una alta tasa de transmisión en función de su longitud, tamaño del alfabeto y distancia de Hamming entre palabras clave (un parámetro que controla el número de errores que se pueden corregir). La idea principal es que en un código maximal (aquel al que no se puede añadir ninguna palabra clave adicional), las bolas de Hamming de la distancia dada deben cubrir todo el espacio de códigos, por lo que el número de palabras clave debe ser al menos igual al volumen total del espacio de códigos dividido por el volumen de una sola bola. ^{[ 5 ]} Durante 30 años, hasta la invención de los códigos de geometría algebraica en 1982, los códigos construidos de esta manera fueron los mejores conocidos. ^{[ 6 ]}

El modelo de Gilbert-Elliott , desarrollado por Gilbert en 1960 y E. O. Elliot en 1963, ^{[G60] [ 7 ]} es un modelo matemático para el análisis de canales de transmisión en los que los errores ocurren en ráfagas. Postula que el canal puede estar en dos estados diferentes, con distintas tasas de error, que los errores ocurren independientemente entre sí una vez que se conoce el estado, y que los cambios de un estado a otro están regidos por una cadena de Markov . Es "muy conveniente y de uso frecuente" en el análisis de sistemas de comunicaciones modernos, como los enlaces de datos a teléfonos móviles. ^{[ 8 ]}

En las matemáticas del barajado de cartas , el modelo de Gilbert-Shannon-Reeds , desarrollado en 1955 por Gilbert y Claude Shannon ^[G55] e independientemente en un trabajo no publicado de 1981 por Jim Reeds, es una distribución de probabilidad sobre permutaciones de un conjunto de n elementos que, según experimentos de Persi Diaconis , modela con precisión los barajados generados por humanos. En este modelo, una baraja de cartas se divide en un punto elegido aleatoriamente según una distribución binomial , y las dos partes se fusionan con un orden de fusión elegido uniformemente al azar entre todas las fusiones posibles. De forma equivalente, es la inversa de una permutación formada al elegir independientemente al azar para cada carta si se coloca en uno de dos montones (manteniendo el orden original de las cartas dentro de cada montón), y luego apilar los dos montones uno encima del otro. ^{[ 9 ]}

Las teselaciones de Gilbert son un modelo matemático de formación de grietas introducido por Gilbert en 1967. ^[G67] En este modelo, las fracturas comienzan en un conjunto de puntos aleatorios, con orientaciones aleatorias, elegidos según un proceso de Poisson , y luego crecen a una tasa constante hasta que terminan al chocar con grietas previamente formadas. ^{[ 10 ]}

Central en la teoría de grafos aleatorios es el modelo de Erdős-Rényi , en el que las aristas se eligen aleatoriamente para un conjunto fijo de n vértices. Fue introducido en dos formas en 1959 por Gilbert, Paul Erdős y Alfréd Rényi . ^{[G59] [ 11 ]} En la forma G ( n , p ) de Gilbert , cada arista potencial se elige para ser incluida en el grafo o excluida de él, independientemente de las otras aristas, con probabilidad p . Por lo tanto, el número esperado de aristas es pn ( n − 1)/2 , pero el número real de aristas puede variar aleatoriamente y todos los grafos tienen una probabilidad no nula de ser seleccionados. En contraste, en el modelo G ( n , M ) introducido por Erdős y Rényi, el grafo se elige uniformemente al azar entre todos los grafos de M aristas; El número de aristas es fijo, pero las aristas no son independientes entre sí, ya que la presencia de una arista en una posición está correlacionada negativamente con la presencia de una arista en una posición diferente. Aunque estos dos modelos terminan teniendo propiedades similares, el modelo G ( n , p ) suele ser más conveniente para trabajar debido a la independencia de sus aristas. ^{[ 12 ]}

En 1961, Gilbert introdujo la red de planos aleatorios ^[G61] (más conocida actualmente como grafo geométrico aleatorio (RGG) o modelo de disco de Gilbert), donde los puntos aleatorios en el plano se conectan si y solo si se encuentran dentro de un rango de conexión crítico. Sugirió las redes de comunicación inalámbricas como la principal aplicación de este trabajo y estudió la teoría de percolación de estas redes, dando origen al campo de la teoría de percolación continua . Gilbert pudo proporcionar límites superiores e inferiores para el rango crítico en el que esta red contiene un componente conectado infinito.

Gilbert y Henry O. Pollak trabajaron en el problema del árbol de Steiner en 1968, formulándolo de manera que lo unificara con los problemas de flujo en redes . ^[GP68] En su modelo, se da una red de flujo en la que a cada arista se le da tanto un costo como una capacidad, y una matriz de cantidades de flujo entre diferentes pares de vértices terminales; la tarea es encontrar una subred de costo mínimo cuyas capacidades sean suficientes para soportar un flujo con las cantidades de flujo dadas entre cualquier par de terminales. Cuando las cantidades de flujo son todas iguales, esto se reduce al problema clásico del árbol de Steiner. ^{[ 13 ]} Este trabajo también formuló la conjetura de Gilbert-Pollak sobre la razón entre la longitud del árbol de Steiner y el árbol de expansión mínima. ^[GP68] Aunque se pensó que se había demostrado a principios de la década de 1990, ^{[ 14 ]} sigue sin resolverse. ^{[ 15 ]}

Gilbert descubrió los arreglos de Costas independientemente de Costas y en el mismo año que él , ^{[G65] [ 16 ]} y también es conocido por su trabajo con John Riordan sobre el conteo de collares en combinatoria . ^{[ 17 ]} Colaboró ​​con Fan Chung , Ron Graham y Jack van Lint en particiones de rectángulos en rectángulos más pequeños. ^[CGG]