Teorema del límite de Edgeworth

El teorema del límite de Edgeworth es un teorema económico , llamado así en honor a Francis Ysidro Edgeworth , que establece que el núcleo de una economía se reduce al conjunto de equilibrios walrasianos a medida que el número de agentes aumenta hasta el infinito.

Es decir, entre todos los resultados posibles que pueden derivarse del libre mercado de intercambio o trueque entre grupos de personas, si bien la ubicación precisa del acuerdo final (la división final de los bienes) entre las partes no está determinada de manera única, a medida que aumenta el número de comerciantes, el conjunto de todos los acuerdos finales posibles converge al conjunto de equilibrios walrasianos.

Intuitivamente, esto podría interpretarse como que, a medida que una economía crece, los agentes se comportan cada vez más como si fueran agentes tomadores de precios, incluso si tienen el poder de negociar.

Edgeworth (1881) conjeturó el teorema y proporcionó la mayor parte de la intuición necesaria y avanzó en cierta medida hacia su demostración. ^[1] Debreu y Scarf (1963) ^[2] así como Aumann (1964) ^[3] presentaron demostraciones formales bajo diferentes supuestos , ambos probados bajo condiciones más estrictas que las que Edgeworth conjeturó. Debreu y Scarf consideraron el caso de una "economía réplica" donde hay un número finito de tipos de agentes y los agentes agregados a la economía para hacerla "grande" son del mismo tipo y en la misma proporción que los que ya están en ella. El resultado de Aumann se basó en la existencia de un continuo de agentes.

El núcleo de una economía es un concepto de la teoría de juegos cooperativos que se define como el conjunto de asignaciones factibles en una economía que no pueden ser mejoradas por un subconjunto del conjunto de consumidores de la economía (una coalición). En las economías de equilibrio general , el núcleo no está vacío (hay al menos una asignación factible), pero también es "grande" en el sentido de que puede haber un continuo de asignaciones factibles que satisfagan los requisitos. La conjetura básicamente establece que si el número de agentes también es "grande", entonces las únicas asignaciones en el núcleo son precisamente las que produciría un mercado competitivo . Como tal, se considera que la conjetura proporciona algunos fundamentos teóricos de juegos para el supuesto habitual en la teoría del equilibrio general de agentes tomadores de precios. En particular, significa que en una economía "grande" las personas actúan como si fueran tomadores de precios, aunque teóricamente tienen todo el poder para fijar precios y renegociar sus transacciones. Por lo tanto, el subastador walrasiano ficticio del equilibrio general, aunque estrictamente hablando es completamente irreal, puede verse como un "atajo" para obtener la respuesta correcta.

Francis Ysidro Edgeworth describió por primera vez lo que más tarde se conocería como el teorema del límite en su libro Mathematical Psychics (1881). Utilizó una variante de lo que ahora se conoce como la caja de Edgeworth (con cantidades comercializadas, en lugar de cantidades poseídas, en los ejes relevantes) para analizar el comercio entre grupos de comerciantes de diversos tamaños. En general, descubrió que "el contrato sin competencia es indeterminado, el contrato con competencia perfecta es perfectamente determinado, [y] el contrato con competencia más o menos perfecta es menos o más indeterminado".

Si se produce un intercambio de dos bienes , X e Y, entre un único par de comerciantes , A y B, los resultados potenciales de este intercambio pueden mostrarse en una caja de Edgeworth ( Figura 1 ). En este diagrama, A y B poseen inicialmente todo el stock de X e Y respectivamente (punto E). Las líneas U(a) y U(b) son las curvas de indiferencia de A y B que pasan por puntos que representan combinaciones de bienes que dan una utilidad igual a sus tenencias iniciales. Como aquí se supone que el comercio no es coercitivo, ninguno de los comerciantes aceptará un acuerdo final que los deje en peor situación que al principio y, por lo tanto, U(a) y U(b) representan los límites exteriores de los posibles acuerdos. Edgeworth demostró que los comerciantes finalmente alcanzarán un punto en la curva de contrato (entre C y C') a través de un proceso de negociación estilizado que se denomina proceso de recontratación. Como ninguna persona puede mejorar sin que la otra empeore en puntos de la curva de contrato, una vez que los comerciantes acuerdan llegar a un acuerdo en un punto de ella, se trata de un acuerdo final. No se puede determinar exactamente en qué punto de la curva del contrato se alcanzará el acuerdo final. Dependerá del proceso de negociación entre las dos personas: la parte que logre obtener una ventaja durante la negociación podrá obtener un mejor precio por sus bienes y, por lo tanto, recibirá mayores ganancias del comercio .

Éste fue el hallazgo clave de Edgeworth: el resultado del comercio entre dos personas puede predecirse dentro de un cierto rango, pero el resultado exacto es indeterminado.

Supongamos que a este par inicial se añade un único par adicional de comerciantes idénticos. Como estos nuevos comerciantes son idénticos al primer par, se puede utilizar la misma caja de Edgeworth para analizar el intercambio. Para examinar los nuevos límites exteriores del comercio, Edgeworth consideró la situación en la que el comercio se produce en el límite del comercio entre dos personas (punto C o C' en la Figura 2 ). Si el comercio se produjera en el punto C, uno de los B (digamos B(1)) recibiría todas las ganancias del comercio. El A que comercia con B(1) (digamos A(1)) ahora tiene una mezcla de bienes X e Y que puede comerciar con A(2). Como los dos A son idénticos, acordarán dividir sus dotaciones posteriores al comercio de manera equitativa entre ellos, ubicándolos en el punto P en la Figura 2, lo que les da una utilidad mayor de la que recibirían de otro modo (curva de indiferencia U'(a) en lugar de U(a)). B(2) tiene ahora una oportunidad y un fuerte incentivo para ofrecer a los A un mejor precio por sus bienes y comerciar con ellos a ese precio, dejando a B(1) fuera de juego. Este proceso de competencia entre los B para ofrecer a los A un mejor precio continuará hasta que los A sean indiferentes entre comerciar a P y comerciar en la curva de contrato ( Figura 3 ). El mismo razonamiento se puede aplicar al caso en el que A(1) recibe inicialmente todas las ganancias del comercio, y se puede demostrar que el límite más externo dado por U(b) también se moverá hacia adentro. Esto se llama el núcleo en contracción del mercado: a medida que se agrega un par adicional de comerciantes, el rango factible de transacciones se reduce.

Si se añade un tercer par de operadores, el núcleo del mercado se contrae aún más. Si el comercio se produce en el límite en el que B(1) obtiene todas las ganancias del comercio, el punto P se encuentra ahora a dos tercios del camino a lo largo de la línea EC. Esto mejora el poder de negociación de los A, que pueden acceder a una curva de indiferencia más alta a medida que los B compiten para comerciar con ellos. El límite exterior de la liquidación final donde hay múltiples pares de operadores se puede generalizar ( Figura 4 ) donde K = (n-1)/n.

Si hay un número suficiente de comerciantes, el núcleo del mercado se reducirá de manera que el punto de liquidación final esté perfectamente determinado ( Figura 5 ). Este punto es igual al equilibrio de toma de precios en el que se supone que tiene lugar el comercio en los modelos de competencia perfecta .

Este análisis puede modificarse para dar cabida a operadores que no son idénticos o que tienen motivaciones que no son puramente egoístas, así como a la situación en la que un grupo de operadores es más grande que el otro. Si los operadores son heterogéneos, el punto P no reflejará una operación de "división de la diferencia" entre el grupo de operadores y el límite exterior de la operación determinado por este punto se modificará en consecuencia. Si la utilidad de uno o más operadores influye en la utilidad de otro (es decir, si este último no es egoísta), entonces el límite asociado de la curva de contrato se reducirá hacia dentro, descartando las operaciones más inequitativas. Si los grupos de operadores tienen tamaños diferentes, los límites exteriores de la curva de contrato no se reducirán en una cantidad igual.

• Negociación cooperativa