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Articulo de referencia

Álgebra de efectos

Las álgebras de efectos son álgebras parciales que abstraen las propiedades algebraicas (parciales) de los eventos observables en mecánica cuántica . Estructuras equivalentes a ...

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Las álgebras de efectos son álgebras parciales que abstraen las propiedades algebraicas (parciales) de los eventos observables en mecánica cuántica . Estructuras equivalentes a las álgebras de efectos fueron introducidas por tres grupos de investigación diferentes en física teórica o matemáticas a finales de la década de 1980 y principios de la de 1990. Desde entonces, sus propiedades matemáticas y su significado físico y computacional han sido estudiados por investigadores en física teórica , matemáticas e informática .

Historia

En 1989, Roberto Giuntini y Greuling introdujeron estructuras para estudiar propiedades no definidas , es decir, aquellos eventos cuánticos cuya probabilidad de ocurrencia está estrictamente entre cero y uno (y por lo tanto no es un evento de tipo "o esto o aquello"). [ 1 ] [ 2 ] En 1994, Chovanec y Kôpka introdujeron los D-posets como posets con una operación de diferencia parcialmente definida . [ 3 ] En el mismo año, se publicó el artículo de Bennet y Foulis , Álgebras de efectos y lógicas cuánticas no definidas . [ 4 ] Si bien fue este último artículo el que utilizó por primera vez el término álgebra de efectos , [ 5 ] se demostró que las tres estructuras son equivalentes. [ 2 ] La prueba del isomorfismo de categorías de D-posets y álgebras de efectos la dan, por ejemplo, Dvurecenskij y Pulmannova. [ 6 ]

Motivación

El enfoque operacional de la mecánica cuántica toma el conjunto de resultados observables (experimentales) como la noción constitutiva de un sistema físico . Es decir, un sistema físico se considera una colección de eventos que pueden ocurrir y, por lo tanto, tener un efecto medible en la realidad. Dichos eventos se denominan efectos . [ 7 ] Esta perspectiva ya impone algunas restricciones a la estructura matemática que describe el sistema: necesitamos poder asociar una probabilidad a cada efecto.

En el formalismo del espacio de Hilbert , los efectos corresponden a operadores autoadjuntos semidefinidos positivos que se encuentran por debajo del operador identidad en el siguiente orden parcial:A≤B{\displaystyle A\leq B}si y solo siB−A{\displaystyle BA}es semidefinida positiva. [ 5 ] La condición de ser semidefinida positiva garantiza que los valores esperados sean no negativos, y estar por debajo del operador identidad produce probabilidades. Ahora podemos definir dos operaciones sobre los efectos del espacio de Hilbert:A′:=I−A{\displaystyle A':=IA}yA+B{\displaystyle A+B}siA+B≤I{\displaystyle A+B\leq I}, dóndeI{\displaystyle I}denota el operador identidad. Nótese queA′{\displaystyle A'}es semidefinido positivo y por debajoI{\displaystyle I}desdeA{\displaystyle A}es, por lo tanto siempre se define. Uno puede pensar enA′{\displaystyle A'}como la negación deA{\displaystyle A}. MientrasA+B{\displaystyle A+B}Siempre es semidefinida positiva, pero no está definida para todos los pares: debemos restringir el dominio de definición a aquellos pares de efectos cuya suma permanece por debajo de la identidad. Dichos pares se denominan ortogonales ; la ortogonalidad refleja la mensurabilidad simultánea de observables.

Definición

Un álgebra de efectos es un álgebra parcial que consta de un conjuntomi{\displaystyle E}, constantes0{\displaystyle 0}y1{\displaystyle 1}enmi{\displaystyle E}una operación unaria total′:mi→mi{\displaystyle ':E\rightarrow E}, una relación binaria⊥⊆mi×mi{\displaystyle \bot \subsetequ E\times E}y una operación binaria⊕:⊥→mi{\displaystyle \oplus :\bot \rightarrow E} , de modo que se cumplen las siguientes condiciones para todoa,b,do∈mi{\displaystyle a,b,c\in E}:

  • conmutatividad : sia⊥b{\displaystyle a\perp b}, entoncesb⊥a{\displaystyle b\perp a}ya⊕b=b⊕a{\displaystyle a\oplus b=b\oplus a},
  • asociatividad : sia⊥b{\displaystyle a\perp b}y(a⊕b)⊥do{\displaystyle (a\oplus b)\perp c}, entoncesb⊥do{\displaystyle b\perp c}ya⊥(b⊕do){\displaystyle a\perp (b\oplus c)}así como(a⊕b)⊕do=a⊕(b⊕do),{\displaystyle (a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c),}
  • ortosuplementación :a⊥a′{\displaystyle a\perp a'}ya⊕a′=1{\displaystyle a\oplus a'=1}y sia⊥b{\displaystyle a\perp b}de tal manera quea⊕b=1{\displaystyle a\oplus b=1}, entoncesb=a′{\displaystyle b=a'},
  • Ley cero-uno : sia⊥1{\displaystyle a\perp 1}, entoncesa=0{\displaystyle a=0}. [ 4 ]

La operación unaria′{\displaystyle '}se llama ortosuplementación y a′{\displaystyle a'}el suplemento ortotópico dea{\displaystyle a}. El dominio de definición⊥{\displaystyle \bot }de⊕{\displaystyle \oplus }se denomina relación de ortogonalidad enmi{\displaystyle E}, y a,b∈mi{\displaystyle a,b\in E}se denominan ortogonales si y solo sia⊥b{\displaystyle a\perp b}La operación⊕{\displaystyle \oplus }se denomina suma ortogonal o simplemente suma . [ 4 ]

Propiedades

Lo siguiente se puede mostrar para cualquier elemento.a,b{\displaystyle a,b}ydo{\displaystyle c}de un álgebra de efectos, suponiendoa⊥b,do{\displaystyle a\perp b,c}:

  • a″=a{\displaystyle a''=a},
  • 0′=1{\displaystyle 0'=1},
  • a⊥0{\displaystyle a\perp 0}, ya⊕0=a{\displaystyle a\oplus 0=a},
  • a⊕b=0{\displaystyle a\oplus b=0}implicaa=b=0{\displaystyle a=b=0},
  • a⊕b=a⊕do{\displaystyle a\oplus b=a\oplus c}implicab=do{\displaystyle b=c}. [ 4 ]

Propiedades del pedido

Cada álgebra de efectosmi{\displaystyle E}está parcialmente ordenado de la siguiente manera:a≤b{\displaystyle a\leq b}si y solo si hay unado∈mi{\displaystyle c\in E}de tal manera quea⊥do{\displaystyle a\perp c}ya⊕do=b{\displaystyle a\oplus c=b}Este orden parcial satisface:

  • a≤b{\displaystyle a\leq b}si y solo sib′≤a′{\displaystyle b'\leq a'},
  • a⊥b{\displaystyle a\perp b}si y solo sia≤b′{\displaystyle a\leq b'}. [ 4 ]

Ejemplos

ortoálgebras

Si el último axioma en la definición de un álgebra de efectos se reemplaza por:

  • sia⊥a{\displaystyle a\perp a}, entoncesa=0{\displaystyle a=0},

Se obtiene la definición de ortoálgebra . [ 4 ] Dado que este axioma implica el último axioma para álgebras de efectos (en presencia de los demás axiomas), toda ortoálgebra es un álgebra de efectos. Ejemplos de ortoálgebras (y por lo tanto de álgebras de efectos) incluyen:

MV-álgebras

Cualquier álgebra MV es un álgebra de efectos (pero no, en general, un ortoálgebra) con la operación unaria como ortosuplementación y la operación binaria restringida a elementos ortogonales como suma. En el contexto de las álgebras MV, la ortogonalidad de un par de elementosa,b{\displaystyle a,b}se define comoa′⊕b′=1{\displaystyle a'\oplus b'=1}. Esto coincide con la ortogonalidad cuando un álgebra MV se considera un álgebra de efectos. [ 10 ]

Un ejemplo importante de álgebra MV es el intervalo unitario.[0,1]{\displaystyle [0,1]}con operacionesa′=1−a{\displaystyle a'=1-a}ya⊕b=máximo(a+b,1){\displaystyle a\oplus b=\max(a+b,1)}. Visto como un álgebra de efectos, dos elementos del intervalo unitario son ortogonales si y solo sia+b≤1{\displaystyle a+b\leq 1}y luegoa⊕b=a+b{\displaystyle a\oplus b=a+b}.

El conjunto de efectos de un álgebra C* unitaria

Generalizando ligeramente el ejemplo motivador de los efectos en espacios de Hilbert, tomemos el conjunto de efectos en un álgebra C* unitaria.A{\displaystyle {\mathfrak {A}}}, es decir, los elementosa∈A{\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}satisfactorio0≤a≤1{\displaystyle 0\leq a\leq 1}. La operación de suma ena,b∈[0,1]A{\displaystyle a,b\in [0,1]_{\mathfrak {A}}}se define cuandoa+b≤1{\displaystyle a+b\leq 1}y luegoa⊕b=a+b{\displaystyle a\oplus b=a+b}. La ortosuplementación se da pora′=1−a{\displaystyle a'=1-a}. [ 11 ]

Tipos de álgebras de efectos

Se han estudiado diversos tipos de álgebras de efectos.

  • Álgebras de efecto de intervalo que surgen como un intervalo[0,tú]GRAMO{\displaystyle [0,u]_{G}}de algún grupo abeliano ordenadoGRAMO{\displaystyle G}. [ 4 ]
  • Las álgebras de efecto convexo tienen una acción del intervalo unitario real.[0,1]{\displaystyle [0,1]}sobre el álgebra. Un teorema de representación de Gudder muestra que todos estos surgen como un álgebra de efecto de intervalo de un espacio vectorial real ordenado . [ 12 ]
  • Álgebras de efecto reticular donde la estructura de orden forma una red. [ 13 ]
  • Álgebras de efectos que satisfacen la propiedad de descomposición de Riesz : [ 14 ] un álgebra MV es precisamente un álgebra de efectos reticulares con la propiedad de descomposición de Riesz. [ 15 ]
  • Las álgebras de efectos secuenciales tienen una operación de producto secuencial adicional que modela el producto de Lüders en un álgebra C* . [ 16 ]
  • Los monoides de efecto son los monoides de la categoría de álgebras de efecto. Son álgebras de efecto que poseen una operación adicional de multiplicación distributiva unitaria asociativa. [ 17 ]

Morfismos

Un morfismo de un álgebra de efectosmi{\displaystyle E}a un álgebra de efectoF{\displaystyle F}viene dada por una funciónF:mi→F{\displaystyle f:E\rightarrow F}de tal manera queF(1)=1{\displaystyle f(1)=1}y para todosa,b∈mi{\displaystyle a,b\in E}

a⊥b{\displaystyle a\perp b}implicaF(a)⊥F(b){\displaystyle f(a)\perp f(b)}yF(a⊕b)=F(a)⊕F(b){\displaystyle f(a\oplus b)=f(a)\oplus f(b)}. [ 4 ]

De ello se deduce que los morfismos preservan los ortosuplementos.

Equipadas con tales morfismos, las álgebras de efectos forman una categoría que tiene las siguientes propiedades:

  • la categoría de álgebras booleanas es una subcategoría completa de la categoría de álgebras de efectos, [ 18 ]
  • Cada álgebra de efectos es un colímite de álgebras booleanas finitas. [ 18 ]

Medidas positivas valoradas por el operador

Como ejemplo de cómo se utilizan las álgebras de efectos para expresar conceptos en la teoría cuántica, la definición de una medida con valores de operador positivos puede expresarse en términos de morfismos de álgebras de efectos de la siguiente manera. Seami(H){\displaystyle {\mathcal {E}}(H)}sea ​​el álgebra de efectos de un espacio de HilbertH{\displaystyle H}y dejarΣ{\displaystyle \Sigma }sea ​​un σ -álgebra. Una medida con valores de operador positivo (POVM) es un morfismo de álgebra de efecto.Σ→mi(H){\displaystyle \Sigma \rightarrow {\mathcal {E}}(H)}que preserva las uniones de cadenas numerables. Una POVM es una medida con valor de proyección precisamente cuando su imagen está contenida en la ortoálgebra de proyecciones en el espacio de Hilbert.H{\displaystyle H}. [ 9 ]

Referencias

  1. ↑ Giuntini, Roberto; Greuling, Heinz (1989-04-20). "Hacia un lenguaje formal para propiedades no definidas". Foundations of Physics . 19 (7): 931– 945. Bibcode : 1989FoPh...19..931G . doi : 10.1007/BF01889307 . S2CID 121309118 . 
  2. 1 2 Foulis, David J. "Medio siglo de lógica cuántica. ¿Qué hemos aprendido?" en Aerts, Diederik (ed.); Pykacz, Jarosław (ed.) Estructuras cuánticas y la naturaleza de la realidad. Springer, Dordrecht 1999. ISBN 978-94-017-2834-8. https://doi.org/10.1007/978-94-017-2834-8 .
  3. ↑ Kôpka, František; Chovanec, Fernando (1994). "D-poses" . Mathematica Eslovaca . 44 (1): 21-34 .
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 Foulis, DJ; Bennett, MK (1994). "Álgebras de efectos y lógicas cuánticas no nítidas". Foundations of Physics . 24 (10): 1331– 1352. Bibcode : 1994FoPh...24.1331F . doi : 10.1007/BF02283036 . S2CID 123349992 . 
  5. 1 2 Dvurecenskij, Anatolij; Pulmannová, Sylvia (2000). "Introducción". Nuevas tendencias en estructuras cuánticas . Editorial académica Kluwer, Dordrecht. ISBN 0-7923-6471-6.
  6. ↑ Dvurecenskij, Anatolij; Pulmannová, Sylvia (2000). "1.3". Nuevas tendencias en estructuras cuánticas . Editorial académica Kluwer, Dordrecht. ISBN 0-7923-6471-6.
  7. ↑ Busch, Paul; Grabowski, Marian; Lahti, Pekka J. (1995). «Prólogo». Física cuántica operacional . Springer-Verlag, Berlín Heidelberg. ISBN 3-540-59358-6.
  8. 1 2 3 4 Dvurecenskij, Anatolij; Pulmannová, Sylvia (2000). "1,5". Nuevas tendencias en estructuras cuánticas . Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-6471-6.
  9. 1 2 Roumen, Frank (2014). "Caracterizaciones categóricas de medidas con valores de operador" . Actas electrónicas en informática teórica . 171 : 132–144 . arXiv : 1412.8528 . doi : 10.4204/EPTCS.171.12 .
  10. ↑ Dvurecenskij, Anatolij; Pulmannová, Sylvia (2000). "1,8". Nuevas tendencias en estructuras cuánticas . Editorial académica Kluwer, Dordrecht. ISBN 0-7923-6471-6.
  11. ↑ Frank Roumen, "Cohomología de álgebras de efectos" arXiv : 1602.00567
  12. ↑ Gudder, Stanley (1999-12-01). "Estructuras convexas y álgebras de efectos". Revista Internacional de Física Teórica . 38 (12): 3179– 3187. doi : 10.1023/A:1026678114856 . ISSN 1572-9575 . S2CID 115468918 .  
  13. ↑ Sykes, Scott R. (2003). "Álgebras de efectos ordenadas en retículos". Algebra Universalis . 49 (2): 191– 199. doi : 10.1007/s00012-003-2500-2 . S2CID 120890173 . 
  14. ↑ Pulmannova, Sylvia (1999-09-01). "Álgebras de efectos con la propiedad de descomposición de Riesz y álgebras AF C*". Foundations of Physics . 29 (9): 1389– 1401. Bibcode : 1999FoPh...29.1389P . doi : 10.1023/A:1018809209768 . ISSN 1572-9516 . S2CID 117445132 .  
  15. ↑ Foulis, DJ (2000-10-01). "MV y álgebras del efecto Heyting". Foundations of Physics . 30 (10): 1687– 1706. Bibcode : 2000FoPh...30.1687F . doi : 10.1023/A:1026454318245 . ISSN 1572-9516 . S2CID 116763476 .  
  16. ↑ Gudder, Stan; Greechie, Richard (1 de febrero de 2002). "Productos secuenciales en álgebras de efectos" . Reports on Mathematical Physics . 49 (1): 87–111 . Bibcode : 2002RpMP...49...87G . doi : 10.1016/S0034-4877(02)80007-6 . ISSN 0034-4877 . 
  17. ↑ Jacobs, Bart; Mandemaker, Jorik (1 de julio de 2012). "Correflexiones en lógica cuántica algebraica" . Foundations of Physics . 42 (7): 932– 958. Bibcode : 2012FoPh...42..932J . doi : 10.1007/s10701-012-9654-8 . hdl : 2066/93798 . ISSN 1572-9516 . 
  18. 1 2 Staton, Sam; Uijlen, Sander (2018). "Álgebras de efectos, prehaces, no localidad y contextualidad". Information and Computation . 261 : 336– 354. doi : 10.1016/j.ic.2018.02.012 . hdl : 2066/193535 .
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