Relación con McCumber

La relación de McCumber (o teoría de McCumber) es una relación entre las secciones transversales efectivas de absorción y emisión de luz en la física de los láseres de estado sólido . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Recibe su nombre de Dean McCumber , quien propuso la relación en 1964.

Dejar${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}(\omega )}$sea ​​la sección transversal de absorción efectiva${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}(\omega )}$ser secciones transversales de emisión efectivas a frecuencia${\displaystyle \omega }$y dejar${\displaystyle ~T~}$sea ​​la temperatura efectiva del medio. La relación de McCumber es

(1)${\displaystyle {\frac {\sigma _{\rm {e}}(\omega )}{\sigma _{\rm {a}}(\omega )}}\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)=\left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)}$

dónde${\displaystyle \left({\frac {N_{1}}{N_{2}}}\right)_{T}}$ es la relación de poblaciones en estado estacionario térmico; frecuencia${\displaystyle \omega _ {\rm {z}}}$se denomina frecuencia de "línea cero"; ^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck y ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$es la constante de Boltzmann . Nótese que el lado derecho de la ecuación (1) no depende de${\displaystyle ~\omega ~}$.

Es típico que las propiedades láser de un medio estén determinadas por la temperatura y la población en el nivel láser excitado, y no sean sensibles al método de excitación utilizado para lograrlo. En este caso, la sección transversal de absorción ${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}(\omega )}$ y la sección transversal de emisión ${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}(\omega )}$ a frecuencia${\displaystyle ~\omega ~}$puede relacionarse con la ganancia del láser de tal manera que la ganancia a esta frecuencia se puede determinar de la siguiente forma:

(2)${\displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~G(\omega )=N_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )-N_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )}$

DEMcCumber había postulado estas propiedades y descubrió que las secciones transversales de emisión y absorción no son independientes; ^{[ 1 ] [ 2 ]} están relacionadas con la ecuación (1).

En el caso de un átomo idealizado de dos niveles, el balance detallado para la emisión y la absorción que conserva la fórmula de Planck para la radiación de cuerpo negro conduce a la igualdad de la sección transversal de absorción y emisión. En los láseres de estado sólido, la división de cada uno de los niveles láser conduce a un ensanchamiento que excede ampliamente el ancho de línea espectral natural . En el caso de un átomo ideal de dos niveles , el producto del ancho de línea y el tiempo de vida es del orden de la unidad, lo que obedece al principio de incertidumbre de Heisenberg . En los materiales láser de estado sólido, el ancho de línea es varios órdenes de magnitud mayor, por lo que los espectros de emisión y absorción están determinados por la distribución de excitación entre subniveles en lugar de por la forma de la línea espectral de cada transición individual entre subniveles. Esta distribución está determinada por la temperatura efectiva dentro de cada uno de los niveles láser. La hipótesis de McCumber es que la distribución de excitación entre subniveles es térmica. La temperatura efectiva determina los espectros de emisión y absorción (los científicos llaman temperatura a la temperatura efectiva incluso si el medio excitado en su conjunto está bastante lejos del estado térmico).

Consideremos el conjunto de centros activos (fig. 1). Supongamos una transición rápida entre subniveles dentro de cada nivel y una transición lenta entre niveles. Según la hipótesis de McCumber, las secciones transversales${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}}$y${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}}$no dependen de las poblaciones${\displaystyle N_{1}}$y${\displaystyle N_{2}}$. Por lo tanto, podemos deducir la relación, asumiendo el estado térmico.

Dejar${\displaystyle ~v(\omega )~}$sea ​​la velocidad de grupo de la luz en el medio, el producto${\displaystyle ~n_{2}\sigma _ {\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}$es la tasa espectral de emisión estimulada y${\displaystyle ~n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~}$es la de absorción;${\displaystyle a(\omega )n_{2}}$es la tasa espectral de emisión espontánea . (Nótese que en esta aproximación no existe la absorción espontánea). El balance de fotones da como resultado:

(3) ${\displaystyle ~~~n_{2}\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )D(\omega )+n_{2}a(\omega )=n_{1}\sigma _{\rm {a}}(\omega )v(\omega )D(\omega )~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(balance)}}}$

Lo cual puede reescribirse como

(4)${\displaystyle ~~~D(\omega )={\frac {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )v(\omega )}}{{\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}-1}}~~~~~~~~~~~~~~{\rm {(D1)}}}$

La distribución térmica de la densidad de fotones se deriva de la radiación de cuerpo negro ^{[ 5 ].}

(5)${\displaystyle ~~~D(\omega )~=~{\frac {{\frac {1}{\pi ^{2}}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{3}}}}{\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}~~~~~{\rm {(D2)}}}$

Tanto (4) como (5) son válidas para todas las frecuencias.${\displaystyle ~\omega ~}$. Para el caso de centros activos idealizados de dos niveles,${\displaystyle ~\sigma _{\rm {a}}(\omega )=\sigma _{\rm {e}}(\omega )~}$, y${\displaystyle ~n_{1}/n_{2}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)}$, lo que lleva a la relación entre la tasa espectral de emisión espontánea${\displaystyle a(\omega )}$y la sección transversal de emisión${\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}(\omega )~}$. ^{[ 5 ]} (Mantenemos el término probabilidad de emisión para la cantidad${\displaystyle ~a(\omega ){\rm {d}}\omega {\rm {d}}t~}$, que es la probabilidad de emisión de un fotón dentro de un pequeño intervalo espectral${\displaystyle ~(\omega ,\omega +{\rm {d}}\omega )~}$durante un breve intervalo de tiempo${\displaystyle ~(t,t+{\rm {d}}t)~}$, suponiendo que en el momento${\displaystyle ~t~}$el átomo está excitado.) La relación (D2) es una propiedad fundamental de la emisión espontánea y estimulada, y quizás la única forma de prohibir una ruptura espontánea del equilibrio térmico en el estado térmico de excitaciones y fotones.

Para cada número de sitio${\displaystyle ~s~}$, para cada número de subnivel${\displaystyle j}$, la probabilidad de emisión espectral parcial${\displaystyle ~a_{s,j}(\omega )~}$puede expresarse a partir de la consideración de átomos idealizados de dos niveles: ^{[ 5 ]}

(6)${\displaystyle ~~~a_{s,j}(\omega )=\sigma _{s,j}(\omega ){\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~.~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm {comparison1}}~~{\rm {partial}}}$

Si se ignoran los efectos coherentes cooperativos, la emisión es aditiva: para cualquier concentración${\displaystyle ~q_{s}~}$de sitios y para cualquier población parcial${\displaystyle ~n_{s,j}~}$de subniveles, la misma proporcionalidad entre${\displaystyle ~a~}$y${\displaystyle ~\sigma _{\rm {e}}~}$Se cumplen las siguientes condiciones para las secciones transversales efectivas:

(7)${\displaystyle {\frac {a(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}={\frac {\omega ^{2}v(\omega )}{\pi ^{2}c^{3}}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~({\rm {comparison)(av)}}}$

Entonces, la comparación de (D1) y (D2) da como resultado la relación

(8)${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\frac {\sigma _{\rm {a}}(\omega )}{\sigma _{\rm {e}}(\omega )}}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega }{k_{\rm {B}}T}}\right)~~.~~~~~~~~{\rm {(n1n2)(mc1)}}}$

Esta relación es equivalente a la relación de McCumber (mc), si definimos la frecuencia de la línea cero.${\displaystyle \omega _{Z}}$como solución de la ecuación

(9)${\displaystyle ~\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{\!T}=\exp \!\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {Z}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)~~~~,~~~}$

el subíndice${\displaystyle ~T~}$indica que la proporción de poblaciones se evalúa en el estado térmico. La frecuencia de la línea cero se puede expresar como

(10)${\displaystyle \omega _{\rm {Z}}={\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar }}\ln \left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)_{T}~~~~~~~~~~~~~~~~.~~{({\rm {oz)}}}}$

Entonces (n1n2) se convierte en equivalente de la relación de McCumber (mc).

No se requiere ninguna propiedad específica de los subniveles del medio activo para que se cumpla la relación de McCumber. Esta se deriva de la suposición de una rápida transferencia de energía entre los niveles láser excitados y entre los niveles láser inferiores. La relación de McCumber (mc) tiene el mismo rango de validez que el concepto de sección transversal de emisión.

En 2006 se observó una fuerte violación de la relación de McCumber para Yb:Gd₂SiO₅ _y se informó en 3 revistas independientes. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} El comportamiento típico de las secciones transversales reportadas se muestra en la Fig. ₂ con curvas gruesas. La sección transversal de emisión es prácticamente cero a la longitud de onda de 975 _nm ; esta propiedad hace de Yb:Gd₂SiO₅ un _excelente material para láseres de estado sólido eficientes . 

Sin embargo, la propiedad observada (curvas gruesas) no es compatible con la segunda ley de la termodinámica . Con dicho material, sería posible un dispositivo de movimiento perpetuo . Bastaría con llenar una caja con paredes reflectantes de Yb:Gd₂SiO₅ _y permitir el intercambio de radiación con un cuerpo negro a través de una ventana espectralmente selectiva _, transparente en las proximidades de 975 nm y reflectante en otras longitudes de onda. Debido a la falta de emisividad a 975 nm, el medio se calentaría, rompiendo el equilibrio térmico.  

En base a la segunda ley de la termodinámica, los resultados experimentales ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} fueron refutados en 2007. Con la teoría de McCumber, se propuso una corrección para la sección transversal de emisión efectiva (curva delgada negra). ^{[ 3 ]} Posteriormente, esta corrección fue confirmada experimentalmente. ^{[ 12 ]}