Masa efectiva (sistema masa-resorte)

En un sistema real de masa-resorte , el resorte tiene una masa no despreciable.${\displaystyle m}$Dado que no toda la longitud del resorte se mueve a la misma velocidad${\displaystyle v}$como la masa suspendida${\displaystyle M}$(por ejemplo, el punto completamente opuesto a la masa)${\displaystyle M}$, en el otro extremo del resorte, no se mueve en absoluto), su energía cinética no es igual a${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$. Por lo tanto,${\displaystyle m}$no se puede simplemente agregar a${\displaystyle M}$para determinar la frecuencia de oscilación y la masa efectiva del resorte,${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }}$, se define como la masa que necesita agregarse a${\displaystyle M}$para predecir correctamente el comportamiento del sistema.

La masa efectiva del resorte en un sistema masa-resorte cuando se utiliza un resorte pesado (no ideal) de densidad lineal uniforme es${\textstyle {\frac {1}{3}}}$de la masa del resorte y es independiente de la dirección del sistema masa-resorte (es decir, los sistemas horizontales, verticales y oblicuos tienen la misma masa efectiva). Esto se debe a que la aceleración externa no afecta el período de movimiento alrededor del punto de equilibrio .

La masa efectiva del resorte se puede determinar calculando su energía cinética. Para un elemento de masa diferencial del resorte${\displaystyle \mathrm {d} m}$en una posición${\displaystyle s}$(variable ficticia) moviéndose con una velocidad${\displaystyle u(s)}$, su energía cinética es: $${\displaystyle \mathrm {d} K={\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} m\,u^{2}}$$

Para hallar la energía cinética total del resorte, es necesario sumar la energía cinética de todos los elementos de masa, y se requiere la siguiente integral : $${\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {primavera} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}$$

Si se supone un estiramiento homogéneo, la distribución de masa del resorte es uniforme,${\displaystyle \mathrm {d} m={\frac {m}{y}}\mathrm {d} s}$, dónde${\displaystyle y}$es la longitud del resorte en el momento de medir la velocidad. Por lo tanto, $${\displaystyle {\begin{aligned}K&=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {m}{y}}\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}u^{2}\mathrm {d} s\end{aligned}}}$$

La velocidad de cada elemento de masa del resorte es directamente proporcional a la longitud desde la posición donde está unido (si está cerca del bloque, entonces mayor velocidad, y si está cerca del techo, entonces menor velocidad), es decir${\displaystyle u(s)={\frac {s}{y}}v}$, de lo cual se deduce:

$${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\int _{0}^{y}s^{2}\,\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\left[{\frac {s^{3}}{3}}\right]_{0}^{y}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}\end{aligned}}}$$

Comparando con la fórmula de energía cinética original esperada${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2},}$La masa efectiva del resorte en este caso es${\textstyle {\frac {m}{3}}}$Este resultado se conoce como el valor de Rayleigh , en honor a Lord Rayleigh .

Para hallar la energía potencial gravitatoria del resorte, se sigue un procedimiento similar: $${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,gs=\int _{0}^{y}{\frac {m}{y}}gs\;\mathrm {d} s\\[1ex]&=mg\,{\frac {1}{y}}\int _{0}^{y}s\;\mathrm {d} s=mg\,{\frac {1}{y}}\left[{\frac {s^{2}}{2}}\right]_{0}^{y}\\[1ex]&={\frac {m}{2}}gy\end{aligned}}}$$

Utilizando este resultado, la energía total del sistema se puede escribir en términos del desplazamiento.${\displaystyle y}$desde la posición sin estirar del resorte (tomando la dirección hacia arriba como positiva, ignorando los términos de potencial constante y estableciendo el origen de la energía potencial en${\displaystyle y=0}$):

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m}{3}}v^{2}+{\tfrac {1}{2}}Mv^{2}+{\tfrac {1}{2}}ky^{2}+{\tfrac {1}{2}}mgy+Mgy\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\left(M+{\tfrac {m}{3}}\right)v^{2}+{\tfrac {1}{2}}ky^{2}+\left(M+{\tfrac {m}{2}}\right)gy\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que${\displaystyle g}$Aquí está la aceleración de la gravedad a lo largo del resorte. Al derivar la ecuación con respecto al tiempo, la ecuación de movimiento es:

$${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-ky-\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}$$

El punto de equilibrio${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }}$se puede encontrar haciendo que la aceleración sea cero:

$${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }=-{\frac {\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}{k}}}$$

Definición${\displaystyle {\bar {y}}=y-y_{\mathrm {eq} }}$, la ecuación de movimiento se convierte en:

$${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-k{\bar {y}}=-k(y-y_{\mathrm {eq} })}$$

Esta es la ecuación para un oscilador armónico simple con frecuencia angular : $${\displaystyle \omega ={\sqrt {{\frac {k}{M+{\frac {m}{3}}}}\,}}}$$ Por lo tanto, tiene una frecuencia angular menor que la del resorte ideal . Además, su período viene dado por: $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {{\frac {M+{\frac {m}{3}}}{k}}\,}}}$$ Que es mayor que el resorte ideal. Ambas fórmulas se reducen al caso ideal en el límite.${\displaystyle {\frac {m}{M}}\to 0}$.

Así, la masa efectiva del resorte sumada a la masa de la carga nos da la "masa total efectiva" del sistema que debe usarse en la fórmula estándar.${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$para determinar el período de oscilación.

Finalmente, la solución al problema de valor inicial : $${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\ddot {y}}&=&-\omega ^{2}(y-y_{\mathrm {eq} })\\{\dot {y}}(0)&=&{\dot {y}}_{0}\\y(0)&=&y_{0}\end{matrix}}\right.}$$ Se da mediante: $${\displaystyle y(t)=(y_{0}-y_{\text{eq}})\cos(\omega t)+{\frac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\sin(\omega t)+y_{\text{eq}}}$$ Lo cual es un movimiento armónico simple.

Como se ha visto anteriormente, la masa efectiva de un resorte no depende de factores "externos" como la aceleración de la gravedad a lo largo del mismo. De hecho, para un resorte pesado no uniforme, la masa efectiva depende únicamente de su densidad lineal.${\displaystyle \lambda (s)}$a lo largo de su longitud:

$${\displaystyle {\begin{aligned}K&=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m\\&=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\!(s)\,\lambda (s)\;\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)v^{2}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la masa efectiva de un resorte es:

$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\,\mathrm {d} s}$$

Este resultado también muestra que${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }\leqslant m}$, con${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$Esto ocurre en el caso de un resorte no físico cuya masa se encuentra ubicada únicamente en el extremo más alejado del soporte.

Se pueden considerar tres casos especiales:

• ${\displaystyle \lambda (s)=0}$es el caso idealizado donde el resorte no tiene masa, y${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m=0}$.
• ${\displaystyle \lambda (s)={\frac {m}{y}}}$es el caso homogéneo (resorte uniforme) donde aparece el valor de Rayleigh en la ecuación, es decir,${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {m}{3}}}$.
• ${\displaystyle \lambda (s)=m\,\delta (s-y)}$, dónde${\displaystyle \delta (x)}$es la función delta de Dirac , es el caso extremo cuando toda la masa está ubicada en${\displaystyle s=y}$, Resultando en${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$.

Para hallar el lagrangiano correspondiente, primero hay que hallar la energía potencial gravitatoria del resorte: $${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,g\,s\\&=\int _{0}^{y}\lambda (s)\,g\,s\;\mathrm {d} s\\&=\left(\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y\end{aligned}}}$$

Debido a la monotonicidad de la integral, se deduce que: $${\displaystyle 0\leqslant m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}\lambda (s)\;\mathrm {d} s=m}$$

Siendo el lagrangiano: $${\displaystyle {\mathcal {L}}(y,{\dot {y}})={\frac {1}{2}}\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right){\dot {y}}^{2}-{\frac {1}{2}}ky^{2}-\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}$$

Los cálculos anteriores suponen que el coeficiente de rigidez del resorte no depende de su longitud. Sin embargo, este no es el caso para los resortes reales. Para valores pequeños de${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$, el desplazamiento no es tan grande como para causar deformación elástica . De hecho, para${\displaystyle {\frac {M}{m}}\ll 1}$, la masa efectiva es${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {4}{\pi ^{2}}}m}$. Jun-ichi Ueda y Yoshiro Sadamoto han descubierto ^{[ 1 ]} que como${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$aumentos más allá${\displaystyle 7}$La masa efectiva de un resorte en un sistema masa-resorte vertical se vuelve menor que el valor de Rayleigh.${\displaystyle {\frac {m}{3}}}$y finalmente alcanza valores negativos en aproximadamente${\displaystyle {\frac {M}{m}}\approx 38}$Este comportamiento inesperado de la masa efectiva puede explicarse en términos del efecto elástico posterior (que consiste en que el resorte no vuelve a su longitud original después de que se retira la carga).

Consideremos la ecuación diferencial del péndulo :

$${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\omega _{0}}^{2}\sin \theta =0}$$

Dónde${\displaystyle \omega _{0}}$es la frecuencia natural de oscilaciones (y la frecuencia angular para pequeñas oscilaciones). El parámetro${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}}$representa${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}}$en un péndulo ideal, y${\displaystyle {\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}}$en un péndulo compuesto, donde${\displaystyle \ell }$es la longitud del péndulo,${\displaystyle m}$es la masa total del sistema,${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$es la distancia desde el punto de pivote${\displaystyle O}$(el punto del que está suspendido el péndulo) al centro de masa del péndulo, y${\displaystyle I_{O}}$es el momento de inercia del sistema con respecto a un eje que pasa por el pivote.

Consideremos un sistema formado por una varilla homogénea que oscila desde un extremo y tiene un péndulo unido en el otro extremo.${\displaystyle \ell }$sea ​​la longitud de la varilla,${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$la masa de la varilla, y${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$la masa del péndulo, por lo tanto la densidad lineal viene dada por${\displaystyle \lambda (s)=m_{\mathrm {bob} }\delta (s-\ell )+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{\ell }}}$, con${\displaystyle \delta (\cdot )}$Función delta de Dirac. La masa total del sistema es${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$Para averiguarlo${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$uno debe resolver${\displaystyle (m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })r_{\mathrm {CM} }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$por definición de centro de masa (esta sería una ecuación integral en el caso general,${\displaystyle \int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,{\big (}s-r_{\mathrm {CM} })\;\mathrm {d} s=0}$, pero se simplifica a esto en el caso homogéneo), cuya solución viene dada por${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}}\ell }$. El momento de inercia del sistema es la suma de los dos momentos de inercia,${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$(una vez más, en el caso general, la ecuación integral sería${\displaystyle I_{O}=\int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,s^{2}\;\mathrm {d} s}$). Por lo tanto, la expresión se puede simplificar:

$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$$

Observe cómo la expresión final no es una función de la masa del péndulo,${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$y la masa de la varilla,${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$, pero solo en su proporción,${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$. Nótese también que inicialmente tiene la misma estructura que el sistema masa-resorte: el producto del caso ideal y una corrección (con el valor de Rayleigh). Nótese que para${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$, el último término de corrección se puede aproximar mediante:

$${\displaystyle {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx 1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}-{\frac {1}{18}}\left({\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}+\cdots }$$

Compare ambos resultados:

• Para el sistema masa-resorte:$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {k}{m_{\mathrm {bob} }}} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {spring} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}}$$
• Para el péndulo:$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {g}{\ell }} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}\underbrace {\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)} _{\text{Rest of the correction}}}$$

• Ejemplos de movimiento armónico simple (MAS) .
• Masa reducida

• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180 Archivado el 16 de febrero de 2012 en Wayback Machine
• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350 Archivado el 16 de febrero de 2012 en Wayback Machine
• https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
• https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics-effective-mass-of-spring-40942.htm
• http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
• "La masa efectiva de un resorte oscilante" Am. J. Phys., 38, 98 (1970)
• "Masa efectiva de un resorte oscilante" The Physics Teacher, 45, 100 (2007)