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aproximaciones del medio efectivo

En ciencia de materiales , las aproximaciones de medio efectivo ( EMA ) o la teoría de medio efectivo ( EMT ) se refieren al modelado analítico o teórico que describe las propie...

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En ciencia de materiales , las aproximaciones de medio efectivo ( EMA ) o la teoría de medio efectivo ( EMT ) se refieren al modelado analítico o teórico que describe las propiedades macroscópicas de los materiales compuestos . Las EMA o EMT se desarrollan a partir del promedio de los múltiples valores de los constituyentes que componen directamente el material compuesto. A nivel de constituyente, los valores de los materiales varían y son inhomogéneos . El cálculo preciso de los muchos valores constituyentes es casi imposible. Sin embargo, se han desarrollado teorías que pueden producir aproximaciones aceptables que, a su vez, describen parámetros útiles, incluyendo la permitividad y permeabilidad efectivas de los materiales en su conjunto. En este sentido, las aproximaciones de medio efectivo son descripciones de un medio (material compuesto) basadas en las propiedades y las fracciones relativas de sus componentes y se derivan de cálculos, [ 1 ] [ 2 ] y la teoría de medio efectivo . [ 3 ] Hay dos fórmulas ampliamente utilizadas. [ 4 ]

La permitividad y la permeabilidad efectivas son características dieléctricas y magnéticas promedio de un medio microheterogéneo. Ambas se derivaron en la aproximación cuasiestática, considerando que el campo eléctrico dentro de una partícula de la mezcla es homogéneo. Por lo tanto, estas fórmulas no pueden describir el efecto del tamaño de partícula. Se han realizado numerosos intentos para mejorarlas.

Aplicaciones

Existen diversas aproximaciones de medio efectivo, [ 5 ] cada una con mayor o menor precisión en condiciones distintas. Sin embargo, todas presuponen que el sistema macroscópico es homogéneo y, como es típico en todas las teorías de campo medio, no logran predecir las propiedades de un medio multifásico cercano al umbral de percolación debido a la ausencia de correlaciones de largo alcance o fluctuaciones críticas en la teoría.

Las propiedades que se tienen en cuenta suelen ser la conductividad.σ{\displaystyle \sigma }o la constante dieléctricaε{\displaystyle \varepsilon }[ 6 ] del medio. Estos parámetros son intercambiables en las fórmulas de una amplia gama de modelos debido a la gran aplicabilidad de la ecuación de Laplace. Los problemas que quedan fuera de esta clase se encuentran principalmente en el campo de la elasticidad y la hidrodinámica, debido al carácter tensorial de orden superior de las constantes del medio efectivo.

Las aproximaciones de medio efectivo (EMA) pueden ser modelos discretos, como los aplicados a redes de resistencias, o teorías continuas, como las aplicadas a la elasticidad o la viscosidad . Sin embargo, la mayoría de las teorías actuales tienen dificultades para describir sistemas percolantes. De hecho, entre las numerosas aproximaciones de medio efectivo, solo la teoría simétrica de Bruggeman es capaz de predecir un umbral. Esta característica de dicha teoría la sitúa en la misma categoría que otras teorías de campo medio de fenómenos críticos .

Modelo de Bruggeman

Para una mezcla de dos materiales con permitividadesεmetro{\displaystyle \varepsilon _ {m}}yεd{\displaystyle \varepsilon _ {d}}con fracciones de volumen correspondientesdometro{\displaystyle c_{m}}ydod{\displaystyle c_{d}}, DAG Bruggeman propuso en 1935 una fórmula de la siguiente forma: [ 7 ]

Aquí, en algunos casos, el signo positivo que precede a la raíz cuadrada debe cambiarse a un signo negativo para obtener la parte imaginaria correcta de la permitividad compleja efectiva, que está relacionada con la atenuación de las ondas electromagnéticas. La fórmula es simétrica con respecto al intercambio de los roles de 'd' y 'm'. Esta fórmula se basa en la igualdad.

dóndeΔΦ{\displaystyle \Delta \Phi }es el salto del flujo de desplazamiento eléctrico en toda la superficie de integración,minorte(r){\ Displaystyle E_ {n} (\ mathbf {r})}es el componente del campo eléctrico microscópico normal a la superficie de integración,εr(r){\displaystyle \varepsilon _{r}(\mathbf {r} )}es la permitividad compleja relativa local que toma el valorεmetro{\displaystyle \varepsilon _ {m}}dentro de la partícula de metal seleccionada, el valorεd{\displaystyle \varepsilon _ {d}}dentro de la partícula dieléctrica seleccionada y el valorεmiFF{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}fuera de la partícula seleccionada,mi0{\displaystyle E_{0}}es el componente normal del campo eléctrico macroscópico. La fórmula (4) se deriva de la igualdad de Maxwell.div⁡(εrmi)=0{\displaystyle \operatorname {div} (\varepsilon _{r}\mathbf {E} )=0}Por lo tanto, en el enfoque de Bruggeman solo se considera una partícula seleccionada. La interacción con todas las demás partículas se tiene en cuenta únicamente en una aproximación de campo medio descrita porεmiFF{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}La fórmula (3) proporciona una curva de resonancia razonable para las excitaciones de plasmones en nanopartículas metálicas si su tamaño es de 10  nm o menor. Sin embargo, no puede describir la dependencia del tamaño para la frecuencia de resonancia de las excitaciones de plasmones que se observan en los experimentos [ 8 ].

Fórmulas

Sin pérdida de generalidad, consideraremos el estudio de la conductividad efectiva (que puede ser de corriente continua o alterna) para un sistema compuesto por inclusiones esféricas multicomponentes con diferentes conductividades arbitrarias. Entonces, la fórmula de Bruggeman toma la forma:

Inclusiones circulares y esféricas

En un sistema de dimensión espacial euclidiananorte{\displaystyle n}que tiene un número arbitrario de componentes, [ 9 ] la suma se realiza sobre todos los constituyentes.δi{\displaystyle \delta _{i}}yσi{\displaystyle \sigma _{i}}son respectivamente la fracción y la conductividad de cada componente, yσmi{\displaystyle \sigma _{e}}es la conductividad efectiva del medio. (La suma sobre laδi{\displaystyle \delta _{i}}(s es unidad.)

Inclusiones elípticas y elipsoidales

Esta es una generalización de la ecuación (1) a un sistema bifásico con inclusiones elipsoidales de conductividad.σ{\displaystyle \sigma }en una matriz de conductividadσmetro{\displaystyle \sigma _{m}}. [ 10 ] La fracción de inclusiones esδ{\displaystyle \delta }y el sistema esnorte{\displaystyle n}dimensional. Para inclusiones orientadas aleatoriamente,

donde elLj{\displaystyle L_{j}}'s denotan el doblete/triplete apropiado de factores de despolarización que está regido por las relaciones entre los ejes de la elipse/elipsoide. Por ejemplo: en el caso de un círculo (L1=1/2{\displaystyle L_{1}=1/2},L2=1/2{\displaystyle L_{2}=1/2}) y en el caso de una esfera (L1=1/3{\displaystyle L_{1}=1/3},L2=1/3{\displaystyle L_{2}=1/3},L3=1/3{\displaystyle L_{3}=1/3}). (La suma sobre elLj{\displaystyle L_{j}}(s es unidad.)

El caso más general al que se ha aplicado el enfoque de Bruggeman involucra inclusiones elipsoidales bianisotrópicas. [ 11 ]

Derivación

La figura ilustra un medio de dos componentes. [ 9 ] Considere el volumen de conductividad sombreado en cruz.σ1{\displaystyle \sigma _{1}}, considérelo como una esfera de volumenV{\displaystyle V}y suponemos que está incrustado en un medio uniforme con una conductividad efectivaσmi{\displaystyle \sigma _{e}}. Si el campo eléctrico lejos de la inclusión esmi0¯{\displaystyle {\overline {E_{0}}}}Entonces, consideraciones elementales conducen a un momento dipolar asociado con el volumen.

Esta polarización produce una desviación demi0¯{\displaystyle {\overline {E_{0}}}}Para que la desviación promedio sea nula, la polarización total sumada sobre los dos tipos de inclusión debe ser nula. Por lo tanto,

dóndeδ1{\displaystyle \delta _{1}}yδ2{\displaystyle \delta _{2}}son respectivamente la fracción volumétrica del material 1 y 2. Esto se puede extender fácilmente a un sistema de dimensiónnorte{\displaystyle n}que tiene un número arbitrario de componentes. Todos los casos se pueden combinar para obtener la ecuación (1).

La ecuación (1) también se puede obtener exigiendo que la desviación de la corriente sea nula. [ 12 ] [ 13 ] Se ha derivado aquí a partir de la suposición de que las inclusiones son esféricas y se puede modificar para formas con otros factores de despolarización; lo que lleva a la ecuación (2).

También está disponible una derivación más general aplicable a materiales bianisotrópicos. [ 11 ]

Modelado de sistemas percolantes

La aproximación principal es que todos los dominios se encuentran en un campo medio equivalente. Desafortunadamente, esto no ocurre cerca del umbral de percolación, donde el sistema está regido por el mayor grupo de conductores, que es un fractal, y por correlaciones de largo alcance que están totalmente ausentes en la fórmula simple de Bruggeman. En general, los valores umbral no se predicen correctamente. Es del 33 % en el EMA, en tres dimensiones, lejos del 16 % esperado según la teoría de la percolación y observado en experimentos. Sin embargo, en dos dimensiones, el EMA da un umbral del 50 % y se ha demostrado que modela la percolación relativamente bien. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]

ecuación de Maxwell-Garnett

En la aproximación de Maxwell Garnett, [ 17 ] el medio efectivo consiste en un medio matricial conεmetro{\displaystyle \varepsilon _{m}}y inclusiones conεi{\displaystyle \varepsilon _{i}}Maxwell Garnett era hijo del físico William Garnett y recibió su nombre en honor al amigo de Garnett, James Clerk Maxwell . Propuso su fórmula para explicar las imágenes en color que se observan en vidrios dopados con nanopartículas metálicas. Su fórmula tiene la forma [ 18 ] .

dóndeεefectivo{\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}}es la permitividad compleja relativa efectiva de la mezcla,εd{\displaystyle \varepsilon _{d}}es la permitividad compleja relativa del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permitividad relativaεmetro{\displaystyle \varepsilon _{m}}con fracción de volumen dedometro≪1{\displaystyle c_{m}\ll 1}Esta fórmula se basa en la igualdad

dóndeε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}es la permitividad absoluta del espacio libre ypagmetro{\displaystyle p_{m}}es el momento dipolar eléctrico de una sola inclusión inducido por el campo eléctrico externo E. Sin embargo, esta igualdad es válida solo para un medio homogéneo yεd=1{\displaystyle \varepsilon _{d}=1}Además, la fórmula (1) ignora la interacción entre inclusiones individuales. Debido a estas circunstancias, la fórmula (1) produce una curva de resonancia demasiado estrecha y demasiado alta para las excitaciones de plasmones en nanopartículas metálicas de la mezcla. [ 19 ]

Fórmula

La ecuación de Maxwell Garnett se lee: [ 20 ]

dóndeεmiFF{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}es la constante dieléctrica efectiva del medio,εi{\displaystyle \varepsilon _{i}}de las inclusiones yεmetro{\displaystyle \varepsilon _{m}}de la matriz;δi{\displaystyle \delta _{i}}es la fracción de volumen de las inclusiones.

La ecuación de Maxwell Garnett se resuelve mediante: [ 21 ] [ 22 ]

siempre y cuando el denominador no desaparezca. Una calculadora simple de MATLAB que utiliza esta fórmula es la siguiente.

% Esta sencilla calculadora de MATLAB calcula la constante dieléctrica efectiva % de una mezcla de un material de inclusión en un medio base % según la teoría de Maxwell-Garnett. % ENTRADAS: % eps_base: constante dieléctrica del material base; % eps_incl: constante dieléctrica del material de inclusión; % vol_incl: porción de volumen del material de inclusión; % SALIDA: % eps_mean: constante dieléctrica efectiva de la mezcla.función eps_media = MaxwellGarnettFormula ( eps_base, eps_incl, vol_incl )small_number_cutoff = 1e-6 ;if vol_incl < 0 || vol_incl > 1 disp ( 'ADVERTENCIA: ¡la porción de volumen del material de inclusión está fuera de rango!' ); end factor_numer = 2 * ( 1 - vol_incl ) * eps_base + ( 1 + 2 * vol_incl ) * eps_incl ; factor_denom = ( 2 + vol_incl ) * eps_base + ( 1 - vol_incl ) * eps_incl ; if abs ( factor_denom ) < small_number_cutoff disp ( 'ADVERTENCIA: ¡el medio efectivo es singular!' ); eps_mean = 0 ; else eps_mean = eps_base * factor_numer / factor_denom ; end end

Derivación

Para la derivación de la ecuación de Maxwell-Garnett, partimos de un conjunto de partículas polarizables. Utilizando el concepto de campo local de Lorentz , obtenemos la relación de Clausius-Mossotti : ε−1ε+2=4π3∑jnortejαj{\displaystyle {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}} Dóndenortej{\displaystyle N_{j}}es el número de partículas por unidad de volumen. Usando electrostática elemental , obtenemos para una inclusión esférica con constante dieléctricaεi{\displaystyle \varepsilon _{i}}y un radioa{\displaystyle a}una polarizabilidadα{\displaystyle \alpha }: α=(εi−1εi+2)a3{\displaystyle \alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}} Si combinamosα{\displaystyle \alpha }Con la ecuación de Clausius-Mosotti , obtenemos: (εmiFF−1εmiFF+2)=δi(εi−1εi+2){\displaystyle \left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)} DóndeεmiFF{\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eff} }}es la constante dieléctrica efectiva del medio,εi{\displaystyle \varepsilon _{i}}de las inclusiones;δi{\displaystyle \delta _{i}}es la fracción de volumen de las inclusiones. Como el modelo de Maxwell Garnett es una composición de un medio matricial con inclusiones, mejoramos la ecuación:

Validez

En términos generales, se espera que el EMA de Maxwell Garnett sea válido para fracciones de volumen bajas.δi{\displaystyle \delta _{i}}, ya que se supone que los dominios están separados espacialmente y se desprecia la interacción electrostática entre las inclusiones elegidas y todas las demás inclusiones vecinas. [ 23 ] La fórmula de Maxwell Garnett, a diferencia de la fórmula de Bruggeman, deja de ser correcta cuando las inclusiones se vuelven resonantes. En el caso de resonancia plasmónica, la fórmula de Maxwell Garnett es correcta solo en la fracción de volumen de las inclusiones.δi<10−5{\displaystyle \delta _{i}<10^{-5}}. [ 24 ] Se ha estudiado la aplicabilidad de la aproximación del medio efectivo para multicapas dieléctricas [ 25 ] y multicapas metal-dieléctricas [ 26 ] , mostrando que hay ciertos casos en los que la aproximación del medio efectivo no se cumple y es necesario tener cuidado al aplicar la teoría.

Generalización de la ecuación de Maxwell-Garnett para describir la distribución del tamaño de las nanopartículas.

La ecuación de Maxwell-Garnett describe las propiedades ópticas de los nanocompuestos, que consisten en un conjunto de nanopartículas perfectamente esféricas. Todas estas nanopartículas deben tener el mismo tamaño. Sin embargo, debido al efecto de confinamiento, las propiedades ópticas pueden verse influenciadas por la distribución del tamaño de las nanopartículas. Como demostraron Battie et al. [ 27 ] , la ecuación de Maxwell-Garnett puede generalizarse para tener en cuenta esta distribución.

(εefectivo−εmetro)εefectivo−2εmetro=3iλ316π2εmetro1.5FRmetro3∫PAG(R)a1(R)dR{\displaystyle {\frac {(\varepsilon _{\text{eff}}-\varepsilon _{m})}{\varepsilon _{\text{eff}}-2\varepsilon _{m}}}={\frac {3i\lambda ^{3}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{m}^{1.5}}}{\frac {f}{R_{m}^{3}}}\int P(R)a_{1}(R)dR}

R{\displaystyle R}yPAG(R){\displaystyle P(R)}son el radio y la distribución de tamaño de las nanopartículas, respectivamente.Rmetro{\displaystyle R_{m}}yF{\displaystyle f}son el radio medio y la fracción de volumen de las nanopartículas, respectivamente.a1{\displaystyle a_{1}}es el primer coeficiente eléctrico de Mie. Esta ecuación revela que la ecuación clásica de Maxwell-Garnett proporciona una estimación errónea de la fracción volumétrica de nanopartículas cuando no se puede despreciar la distribución de tamaño.

Generalización para incluir la distribución de la forma de las nanopartículas.

La ecuación de Maxwell-Garnett solo describe las propiedades ópticas de un conjunto de nanopartículas perfectamente esféricas. Sin embargo, las propiedades ópticas de los nanocompuestos son sensibles a la distribución de la forma de las nanopartículas. Para superar esta limitación, Y. Battie et al. [ 28 ] desarrollaron la teoría del medio efectivo con distribución de forma (SDEMT). Esta teoría del medio efectivo permite calcular la función dieléctrica efectiva de un nanocompuesto que consiste en un conjunto de nanopartículas elipsoidales con distribución de forma.

εefectivo=(1−F)εmetro+Fβεi1−F+Fβ{\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {(1-f)\varepsilon _{m}+f\beta \varepsilon _{i}}{1-f+f\beta }}}

conβ=13∬PAG(L1,L2)∑i=⁡13εmetroεmetro+Li(εi−εmetro)dL1dL2{\displaystyle \beta ={\frac {1}{3}}\iint P(L_{1},L_{2})\sum _{i\mathop {=} 1}^{3}{\frac {\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{m}+L_{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}}dL_{1}dL_{2}}

Los factores de despolarización (L1,L2,L3{\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3}}) solo dependen de la forma de las nanopartículas.PAG(L1,L2){\displaystyle P(L_{1},L_{2})}es la distribución de los factores de despolarización.F{\displaystyle f}es la fracción de volumen de las nanopartículas.

La teoría SDEMT se utilizó para extraer la distribución de forma de las nanopartículas a partir de espectros de absorción [ 29 ] o elipsométricos. [ 30 ] [ 31 ]

Fórmula que describe el efecto del tamaño

Se propuso una nueva fórmula que describe el efecto del tamaño. [ 19 ] Esta fórmula tiene una forma εefectivo=14(Hε+i−Hε2−8εmetroεdJ(kmetroa)),{\displaystyle \varepsilon _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\varepsilon }+i{\sqrt {-H_{\varepsilon }^{2}-8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}J(k_{m}a)}}\right),}

J(incógnita)=21−incógnitacuna⁡(incógnita)incógnita2+incógnitacuna⁡(incógnita)−1,{\displaystyle J(x)=2{\frac {1-x\cot(x)}{x^{2}+x\cot(x)-1}},} donde a es el radio de la nanopartícula ykmetro=εmetroμmetroω/do{\displaystyle k_{m}={\sqrt {\varepsilon _{m}\mu _{m}}}\omega /c}es el número de onda. Aquí se supone que la dependencia temporal del campo electromagnético viene dada por el factormiincógnitapag(−iωt).{\displaystyle \mathrm {exp} (-i\omega t).}En este artículo se utilizó el enfoque de Bruggeman, pero el campo electromagnético para el modo de oscilación del dipolo eléctrico dentro de la partícula seleccionada se calculó sin aplicar la aproximación cuasiestática . Por lo tanto, la funciónJ(kmetroa){\displaystyle J(k_{m}a)}Esto se debe a la no uniformidad del campo dentro de la partícula seleccionada. En la región cuasiestática (kmetroa≪1{\displaystyle k_{m}a\ll 1}, es decira≤10nortemetro{\displaystyle a\leq \mathrm {10\,nm} }para la agricultura){\displaystyle )}Esta función se vuelve constanteJ(kmetroa)=1{\displaystyle J(k_{m}a)=1}y la fórmula (5) se vuelve idéntica a la fórmula de Bruggeman.

Fórmula de permeabilidad efectiva

La fórmula para la permeabilidad efectiva de las mezclas tiene una forma [ 19 ].

Hμ=(2−3dometro)μd−(1−3dometro)μmetroJ(kmetroa).{\displaystyle H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).}

Aquíμefectivo{\displaystyle \mu _{\text{eff}}}es la permeabilidad compleja relativa efectiva de la mezcla,μd{\displaystyle \mu _{d}}es la permeabilidad compleja relativa del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permeabilidad relativaμmetro{\displaystyle \mu _{m}}con fracción de volumen dedometro≪1{\displaystyle c_{m}\ll 1}Esta fórmula se derivó en la aproximación dipolar. Aquí se despreciaron el modo octupolar magnético y todos los demás modos de oscilación magnética de órdenes impares. Cuandoμmetro=μd{\displaystyle \mu _{m}=\mu _{d}}ykmetroa≪1{\displaystyle k_{m}a\ll 1}Esta fórmula tiene una forma simple [ 19 ]

Teoría del medio efectivo para redes de resistencias

Para una red que consta de una alta densidad de resistencias aleatorias, una solución exacta para cada elemento individual puede ser poco práctica o imposible. En tal caso, una red de resistencias aleatorias puede considerarse como un grafo bidimensional y la resistencia efectiva puede modelarse en términos de medidas de grafos y propiedades geométricas de redes. [ 32 ] Suponiendo que la longitud de la arista es mucho menor que el espaciado de los electrodos y que las aristas están distribuidas uniformemente, se puede considerar que el potencial cae uniformemente de un electrodo a otro. Resistencia superficial de dicha red aleatoria (Rsnorte{\displaystyle R_{sn}}) se puede escribir en términos de densidad de borde (cable)nortemi{\displaystyle N_{E}}), resistividad (ρ{\displaystyle \rho }), ancho (w{\displaystyle w}) y espesor (t{\displaystyle t}) de bordes (cables) como:

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • Lakhtakia, A., ed. (1996). Artículos seleccionados sobre materiales compuestos ópticos lineales [Vol. 120 de Hito] . Bellingham, WA, EE. UU.: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4.
  • Tuck, Choy (1999). Teoría del medio efectivo (1.ª  ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
  • Lakhtakia (Ed.), A. (2000). Campos electromagnéticos en materiales y estructuras no convencionales . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9.
  • Weiglhofer (Ed.) ; Lakhtakia (Ed.), A. (2003). Introducción a los medios complejos para óptica y electromagnetismo . Bellingham, WA, EE. UU.: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4.
  • Mackay, TG ; Lakhtakia, A. (2010). Anisotropía y bianisotropía electromagnética: una guía de campo (1.ª  ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.
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