Conjetura de Egan

En geometría , la conjetura de Egan proporciona una condición suficiente y necesaria para los radios de dos esferas y la distancia entre sus centros, de modo que exista un símplex completamente contenido dentro de la esfera mayor y que encierre completamente la esfera menor. La conjetura generaliza una igualdad descubierta por William Chapple (y posteriormente de forma independiente por Leonhard Euler ), que es un caso particular del teorema de cierre de Poncelet , así como la desigualdad de Grace-Danielsson en una dimensión superior.

La conjetura fue propuesta en 2014 por el matemático y autor de ciencia ficción australiano Greg Egan . La parte "suficiente" se demostró en 2018, y la parte "necesaria" se demostró en 2023.

Para un triángulo arbitrario (${\displaystyle 2}$-símplex), el radio${\displaystyle r}$de su círculo inscrito , el radio${\displaystyle R}$de su circunferencia circunscrita y la distancia${\displaystyle d}$Sus centros están relacionados mediante el teorema de Euler en geometría :

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$,

que fue publicada por William Chapple en 1746 ^{[ 1 ]} y por Leonhard Euler en 1765. ^{[ 2 ]}

Para dos esferas (${\displaystyle 2}$-esferas) con radios respectivos${\displaystyle r}$y${\displaystyle R}$, cumpliendo${\displaystyle r<R}$, existe un tetraedro ( no regular)${\displaystyle 3}$-símplex), que está completamente contenida dentro de la esfera más grande y encierra completamente la esfera más pequeña, si y solo si la distancia${\displaystyle d}$de sus centros cumple la desigualdad de Grace-Danielsson :

${\displaystyle d^{2}\leq (R+r)(R-3r)}$.

Este resultado fue demostrado independientemente por John Hilton Grace en 1917 y G. Danielsson en 1949. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Anthony Milne describió una conexión de la desigualdad con la teoría de la información cuántica . ^{[ 5 ]}

Considerar${\displaystyle n}$espacio euclidiano dimensional${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$para${\displaystyle n\geq 2}$Para dos${\displaystyle n-1}$- esferas con radios respectivos${\displaystyle r}$y${\displaystyle R}$, cumpliendo${\displaystyle r<R}$, existe un${\displaystyle n}$- simplex , que está completamente contenido dentro de la esfera más grande y encierra completamente la esfera más pequeña, si y solo si la distancia${\displaystyle d}$de sus centros cumple:

${\displaystyle d^{2}\leq (R+(n-2)r)(R-nr)}$.

La conjetura fue propuesta por Greg Egan en 2014. ^{[ 6 ]}

Para el caso${\displaystyle n=1}$donde la desigualdad se reduce a${\displaystyle d\leq Rr}$La conjetura también es cierta, pero trivial.${\displaystyle 0}$-esfera está compuesta simplemente de dos puntos y una${\displaystyle 1}$-simplex es simplemente un intervalo cerrado . El deseado${\displaystyle 1}$-símplex de dos dados${\displaystyle 0}$Las esferas pueden elegirse simplemente como el intervalo cerrado entre los dos puntos de la esfera más grande, que contiene la esfera más pequeña si y solo si contiene ambos puntos de la misma con la distancia respectiva.${\displaystyle |dr|}$y${\displaystyle d+r}$desde el centro de la esfera más grande, por lo tanto, si y solo si se cumple la desigualdad anterior.

Greg Egan demostró que la condición es suficiente en comentarios a una publicación de blog de John Baez en 2014. Los comentarios se perdieron en una reorganización del sitio web, pero las partes centrales se copiaron en la publicación original del blog. Otros comentarios de Greg Egan el 16 de abril de 2018 se refieren a la búsqueda de una conjetura generalizada que involucra elipsoides . ^{[ 6 ]} Sergei Drozdov publicó un artículo en ArXiv que muestra que la condición también es necesaria en octubre de 2023. ^{[ 7 ]}