Geometría egipcia

La geometría egipcia se refiere a la geometría tal como se desarrolló y utilizó en el Antiguo Egipto . Su geometría fue una consecuencia necesaria de la topografía para preservar la distribución y la propiedad de las tierras de cultivo, que se inundaban anualmente por el río Nilo . ^{[ 1 ]}

Solo disponemos de un número limitado de problemas geométricos del antiguo Egipto. Estos problemas aparecen tanto en el Papiro Matemático de Moscú (MMP) como en el Papiro Matemático de Rhind (RMP). Los ejemplos demuestran que los antiguos egipcios sabían calcular áreas de diversas figuras geométricas y volúmenes de cilindros y pirámides.

Los antiguos egipcios redactaban sus problemas en varias partes. Incluían el título y los datos del problema, en algunos textos mostraban cómo resolverlo y, como último paso, verificaban su corrección. Los escribas no utilizaban variables y los problemas se escribían en prosa. Las soluciones se detallaban paso a paso, describiendo el proceso.

Las unidades de longitud egipcias están atestiguadas desde el Período Dinástico Temprano . Aunque data de la V dinastía, la piedra de Palermo registró el nivel del río Nilo durante el reinado del faraón Djer del Período Dinástico Temprano , cuando la altura del Nilo se registró como 6 codos y 1 palma (aproximadamente 3,217 m o 10 pies 6,7 pulgadas ). ^{[ 2 ]} Un diagrama de la Tercera Dinastía muestra cómo construir una bóveda circular usando medidas corporales a lo largo de un arco. Si el área del cuadrado es 434 unidades. El área del círculo es 433,7.   

El ostracón que representa este diagrama fue hallado cerca de la Pirámide Escalonada de Saqqara . Una curva está dividida en cinco secciones y la altura de la curva se indica en codos, palmas y dedos en cada una de las secciones. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En algún momento, las longitudes se estandarizaron mediante varas de codo . Se han encontrado ejemplos en las tumbas de funcionarios, que indican longitudes de hasta remen. Los codos reales se usaban para medir terrenos como caminos y campos. Catorce varas, incluyendo una vara de doble codo, fueron descritas y comparadas por Lepsius . ^{[ 5 ]} Se conocen dos ejemplos de la tumba de Maya , el tesorero de Tutankamón , en Saqqara .

Otro fue hallado en la tumba de Kha ( TT8 ) en Tebas . Estos codos miden 52,5 cm (20,7 pulgadas) de largo y están divididos en palmas y manos: cada palma se divide en cuatro dedos de izquierda a derecha y los dedos se subdividen a su vez en ro de derecha a izquierda. Las reglas también están divididas en manos ^{[ 6 ]} de modo que, por ejemplo, un pie se representa como tres manos y quince dedos y también como cuatro palmas y dieciséis dedos. ^{[ 2 ] [ 4 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 6 ]}  

El levantamiento topográfico y la medición itinerante se realizaban utilizando varas, pértigas y cuerdas anudadas. Una escena en la tumba de Menna en Tebas muestra a agrimensores midiendo un terreno con cuerdas con nudos a intervalos regulares. Escenas similares se encuentran en las tumbas de Amenhotep-Sesi, Khaemhat y Djeserkareseneb. También se muestran ovillos de cuerda en estatuas del Imperio Nuevo de funcionarios como Senenmut , Amenemhet-Surer y Penanhor. ^{[ 3 ]}

Triángulos: Los antiguos egipcios sabían que el área de un triángulo es${\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh}$donde b = base y h = altura. Los cálculos del área de un triángulo aparecen tanto en el RMP como en el MMP. ^{[ 10 ]}

Rectángulos: El problema 49 del RMP encuentra el área de un terreno rectangular ^{[ 10 ]} El problema 6 del MMP encuentra las longitudes de los lados de un área rectangular dada la razón de las longitudes de los lados. Este problema parece ser idéntico a uno de los papiros matemáticos de Lahun en Londres. El problema también demuestra que los egipcios estaban familiarizados con las raíces cuadradas. Incluso tenían un jeroglífico especial para encontrar una raíz cuadrada. Parece una esquina y aparece en la quinta línea del problema. Los estudiosos sospechan que tenían tablas que daban las raíces cuadradas de algunos números de uso frecuente. Sin embargo, no se han encontrado tales tablas. ^{[ 11 ]} El problema 18 del MMP calcula el área de una longitud de tela para vestimenta. ^{[ 10 ]}

El problema 1 del papiro de Lahun en LV.4 se plantea de la siguiente manera: Un área de 40 "mH" por 3 "mH" se dividirá en 10 áreas, cada una de las cuales tendrá un ancho que es 1/2 1/4 de su longitud. ^{[ 12 ]} Una traducción del problema y su solución tal como aparece en el fragmento se encuentra en el sitio web mantenido por el University College London. ^{[ 13 ]}

Círculos: El problema 48 del RMP compara el área de un círculo (aproximado por un octágono) con la de su cuadrado circunscrito. El resultado de este problema se utiliza en el problema 50.

Triseca cada lado. Elimina los triángulos de las esquinas. La figura octogonal resultante se aproxima a un círculo. El área de la figura octogonal es:

${\displaystyle 9^{2}-4{\frac {1}{2}}(3)(3)=63}$ A continuación, aproximamos 63 a 64 y observamos que${\displaystyle 64=8^{2}}$

Por lo tanto, el número${\displaystyle 4({\frac {8}{9}})^{2}=3.16049...}$desempeña el papel de π = 3,14159....

Que esta figura octogonal, cuya área se calcula fácilmente, se aproxime con tanta precisión al área del círculo es pura casualidad. Obtener una mejor aproximación al área utilizando divisiones más finas de un cuadrado y un razonamiento similar no es sencillo. ^{[ 10 ]}

El problema 50 del RMP halla el área de un campo circular de diámetro 9 khet. ^{[ 10 ]} Esto se resuelve utilizando la aproximación de que un campo circular de diámetro 9 tiene la misma área que un cuadrado de lado 8. El problema 52 halla el área de un trapecio con lados (aparentemente) igualmente inclinados. Las longitudes de los lados paralelos y la distancia entre ellos son los números dados. ^{[ 11 ]}

Hemisferio: El problema 10 del MMP calcula el área de un hemisferio. ^{[ 11 ]}

Varios problemas calculan el volumen de graneros cilíndricos (41, 42 y 43 del RMP), mientras que el problema 60 del RMP parece referirse a un pilar o un cono en lugar de una pirámide. Es bastante pequeño y empinado, con una pendiente de cuatro palmos (por codo). ^{[ 10 ]}

Un problema que aparece en la sección IV.3 de los Papiros Matemáticos de Lahun calcula el volumen de un granero de base circular. Un problema y procedimiento similar se encuentra en el papiro de Rhind (problema 43). Varios problemas del Papiro Matemático de Moscú (problema 14) y del Papiro Matemático de Rhind (números 44, 45, 46) calculan el volumen de un granero rectangular. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

El problema 14 del Papiro Matemático de Moscú calcula el volumen de una pirámide truncada, también conocida como tronco de pirámide.

El problema 56 del RMP demuestra la comprensión del concepto de semejanza geométrica. Este problema analiza la razón entre la longitud de la base y la pendiente, también conocida como seked . Dicha fórmula sería necesaria para la construcción de pirámides. En el siguiente problema (el 57), la altura de una pirámide se calcula a partir de la longitud de la base y el seked (pendiente en egipcio), mientras que el problema 58 proporciona la longitud de la base y la altura, y utiliza estas medidas para calcular el seked.

En el problema 59, la parte 1 calcula el seked, mientras que la segunda parte puede ser un cálculo para comprobar la respuesta: Si construyes una pirámide con lado de la base 12 [codos] y con un seked de 5 palmas 1 dedo; ¿cuál es su altura? ^{[ 10 ]}

• Clagett, Marshall (1999). Ciencia del Antiguo Egipto: Un libro de referencia, vol. III: Matemáticas del Antiguo Egipto . Memorias de la APS , vol. 232. Filadelfia: Sociedad Filosófica Estadounidense. ISBN 978-0-87169-232-0.
• Lepsius, Karl Richard (1865). Die Alt-Aegyptische Elle und Ihre Eintheilung (en alemán). Berlín: Dümmler.