Desigualdad de Eilenberg

La desigualdad de Eilenberg , también conocida como desigualdad de coarea , es una desigualdad matemática para funciones Lipschitz-continuas entre espacios métricos. De manera informal, proporciona un límite superior para el tamaño promedio de las fibras de una función Lipschitz en términos de la constante Lipschitz de la función y la medida del dominio.

La desigualdad de Eilenberg tiene aplicaciones en la teoría de la medida geométrica y la teoría de variedades. También es un ingrediente clave en la demostración de la fórmula de coarea .

Sea ƒ  :  X  →  Y una función Lipschitz-continua entre espacios métricos cuya constante de Lipschitz se denota por Lip  ƒ . Sean s y t números reales no negativos. Entonces, la desigualdad de Eilenberg establece que

${\displaystyle \int _{Y}^{*}H^{s}(f^{-1}(y)\cap A)\,dH^{t}(y)\leq {\frac {v_{s}v_{t}}{v_{s+t}}}({\text{Lip }}f)^{t}H^{s+t}(A),}$

para cualquier A  ⊂  X .

• El asterisco denota la integral superior,
• v _t son constantes universales. Si t=n , entonces v _t es igual al volumen de la bola unitaria en  R ⁿ ,
• H ^t es la medida de Hausdorff de dimensión t .

El uso de la integral superior es necesario porque en general la función puede ^no ser medible . ${\displaystyle \ y\mapsto H^{s}(A\cap f^{-1}(y))}$

La desigualdad fue demostrada por primera vez por Eilenberg en 1938 para el caso en que la función era la distancia a un punto fijo en el espacio métrico. Luego, en 1943, Eilenberg y Harold la generalizaron para el caso de cualquier función de Lipschitz de valor real en un espacio métrico.

La desigualdad en la forma anterior fue demostrada por Federer en 1954, excepto que sólo pudo demostrarla bajo supuestos adicionales que, según su conjetura, eran innecesarios. Años más tarde, Davies demostró algunos resultados profundos sobre los contenidos de Hausdorff y, como consecuencia, esta conjetura quedó demostrada. Pero recientemente también se ha encontrado una nueva demostración, independiente del resultado de Davies. ^[1]

En muchos textos se demuestra la desigualdad para el caso en que el espacio de destino es un espacio euclidiano o una variedad. ^[2] Esto se debe a que la desigualdad isodiamétrica está disponible (localmente en el caso de variedades), lo que permite una demostración sencilla. La desigualdad isodiamétrica no está disponible en espacios métricos generales. La demostración de la desigualdad de Eilenberg en el caso general es bastante compleja y requiere el concepto de las denominadas integrales ponderadas. ^{[3] [1]}