Métrica de Einstein-Rosen

En la relatividad general, la métrica de Einstein-Rosen es una solución exacta a las ecuaciones de campo de Einstein derivadas en 1937 por Albert Einstein y Nathan Rosen que describen ondas gravitacionales cilíndricas . ^{[ 1 ]}

Einstein predijo por primera vez la existencia de ondas gravitacionales en 1916. Retomó el problema 20 años después, trabajando con su asistente, Rosen. Einstein y Rosen creyeron haber encontrado una prueba de la inexistencia de ondas gravitacionales. ^{[ 2 ]} Pero un revisor anónimo —que póstumamente se reveló como Howard Percy Robertson— señaló su error de interpretación de las coordenadas que estaban utilizando. ^{[ 3 ]} Einstein y Rosen resolvieron este problema y llegaron a la conclusión opuesta, presentando la primera solución exacta a las ecuaciones de campo de la relatividad general que describen las ondas gravitacionales. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Esta métrica se puede escribir de forma que se aplique la transformación de Belinski-Zakharov , y por lo tanto tiene la forma de un solitón gravitacional . En 1972 y 1973, JR Rao, AR Roy y RN Tiwari publicaron una clase de soluciones exactas que involucran la métrica de Einstein-Rosen. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} En 2021, Robert F. Penna encontró una derivación algebraica de la métrica de Einstein-Rosen, utilizando el grupo de Geroch . ^{[ 7 ]}

La métrica de Einstein-Rosen (con${\displaystyle c=1}$) viene dado por ^{[ 8 ]}

${\displaystyle ds^{2}=e^{2\nu }[(dt)^{2}-(d\rho )^{2}]-e^{-2\mu }(\rho d\varphi )^{2}-e^{2\mu }(dz)^{2}}$

dónde${\displaystyle \mu =\mu (t,\rho)}$y${\displaystyle \nu =\nu (t,\rho)}$satisfacer

${\displaystyle \mu _{tt}={\frac {1}{\rho }}(\rho \mu _{\rho })_{\rho },}$

${\displaystyle (\nu +\mu )_{t}=2\mu _{t}\mu _{\rho },}$

${\displaystyle (\nu +\mu )_{\rho }=(\mu _ {t}^{2}+\mu _ {\rho }^{2}),}$

en la que la integrabilidad de la función${\displaystyle \nu +\mu }$está garantizado. Una solución separable simple viene dada por

${\displaystyle \mu =AJ_{0}(\sigma \rho )\cos \sigma t,}$

${\displaystyle \nu +\mu ={\frac {A^{2}}{2}}[\sigma ^{2}\rho ^{2}(J_{0}^{2}+J_{1}^{2})-2\sigma \rho J_{0}J_{1}\cos ^{2}\sigma t],}$

dónde${\displaystyle A}$es una constante,${\displaystyle \sigma }$es la frecuencia y${\displaystyle J_{n}}$es la función de Bessel . Para las ondas de Einstein-Rosen, la energía C , definida como${\displaystyle C=\nu +\mu }$, ^{[ 8 ]} no es constante en el tiempo y oscila periódicamente.

En el caso general, se puede escribir

${\displaystyle \mu =\sum _{j}[A_{j}J_{0}(\sigma _{j}\rho )\cos \sigma _{j}t+B_{j}J_{0}(\sigma _{j}\rho )\sin \sigma _{j}t].}$

Suponer${\displaystyle B_{j}=0}$, es decir,${\displaystyle \mu }$está dada por la serie del coseno, entonces tenemos ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu +\mu &={\frac {1}{2}}\sum _{j}A_{j}^{2}\{\sigma _{j}^{2}\rho ^{2}[J_{0}^{2}(\sigma _{j}\rho )+J_{1}^{2}(\sigma _{j}\rho )]-2\sigma _{j}\rho J_{0}(\sigma _{j}\rho )J_{1}(\sigma _{j}\rho )\cos ^{2}\sigma _{j}t\}\\&-\rho \sum _{j<k}A_{j}A_{k}{\frac {\sigma _{j}\sigma _{k}}{\sigma _{j}+\sigma _{k}}}[J_{0}(\sigma _{j}\rho )J_{1}(\sigma _{k}\rho )+J_{0}(\sigma _{k}\rho )J_{1}(\sigma _{j}\rho )]\cos(\sigma _{j}+\sigma _{k})t\\&-\rho \sum _{j<k}A_{j}A_{k}{\frac {\sigma _{j}\sigma _{k}}{\sigma _{j}-\sigma _{k}}}[J_{0}(\sigma _{j}\rho )J_{1}(\sigma _{k}\rho )-J_{0}(\sigma _{k}\rho )J_{1}(\sigma _{j}\rho )]\cos(\sigma _{j}-\sigma _{k})t.\end{aligned}}}$

• Onda plana gravitacional
• espaciotiempo de onda Pp