Grupo Einstein

Albert Einstein , en su búsqueda del grupo de transformación para su teoría del campo unificado , escribió:

"En mi opinión, todo intento de establecer una teoría de campo unificada debe partir de un grupo de transformaciones que no sea menos general que el de las transformaciones continuas de las cuatro coordenadas. Pues difícilmente tendríamos éxito buscando la posterior ampliación del grupo para una teoría basada en un grupo más restringido." ^{[ 1 ]}

El grupo de Poincaré , el grupo de transformaciones de la relatividad especial , al ser ortogonal , implica que la inversa de una transformación es igual a su transpuesta, introduciendo _{reflexiones discretas. Esto, a su vez, viola el precepto de Einstein para un grupo "no menos general que el de las transformaciones continuas de las cuatro coordenadas". Específicamente, ningún par de ángulos de Euler θk} y _−θk son independientes , ni tampoco ningún par de transformaciones vk / c y −vk / c . Por lo tanto, los parámetros disponibles se reducen de los 16 necesarios para expresar todas las transformaciones en un espaciotiempo curvo, según el principio general de la relatividad _, ∂xμ ′ ^/ ∂xν , ^a los 10 del grupo de Poincaré ^.

Mendel Sachs , en la década de 1960, encontró el grupo de transformación que Einstein había buscado, el grupo de Einstein. ^{[ 2 ]} El grupo de Einstein se puede obtener factorizando el intervalo invariante espaciotemporal al cuadrado.

ds ² = g _μν dx ^μ dx ^ν  

en una forma con valores de cuaternión y su conjugado, ds ds* , donde 

ds = q _μ ( x ) dx ^μ 

y q _μ ( x ) es un cuadrivector de cuaterniones hermíticos .

Nótese que el grupo de Einstein se aproxima —pero nunca alcanza— al grupo de Poincaré a medida que se aproxima al espaciotiempo plano ( límite de la relatividad especial ). ^{[ 3 ]}