problema de Einstein

En geometría discreta plana , el problema de Einstein plantea la cuestión de la existencia de un único prototipo que, por sí mismo, forme un conjunto aperiódico de prototipos ; es decir, una forma que pueda teselar el espacio, pero solo de forma no periódica . Dicha forma se denomina Einstein , un juego de palabras derivado de «ein Stein» , que en alemán significa «una piedra». ^{[ 1 ]}

A partir de la década de 1990, se resolvieron varias variantes del problema, dependiendo de las definiciones particulares de no periodicidad y de las especificaciones sobre qué conjuntos pueden considerarse teselas y qué tipos de reglas de emparejamiento están permitidas. La versión más estricta del problema se resolvió en 2023, tras un descubrimiento inicial en 2022.

El problema de Einstein puede verse como una extensión natural de la segunda parte del decimoctavo problema de Hilbert , que pide un único poliedro que recubra el espacio euclidiano tridimensional , pero tal que ninguna teselación realizada por este poliedro sea isoédrica . ^{[ 2 ]} Karl Reinhardt encontró tales teselas anisoédricas en 1928, pero todas estas teselas anisoédricas recubren el espacio periódicamente.

En 1988, Peter Schmitt descubrió un único prototile aperiódico en el espacio euclidiano tridimensional . Si bien ningún teselado por este prototile admite una traslación como simetría, algunos tienen una simetría helicoidal . La operación helicoidal implica una combinación de una traslación y una rotación a través de un múltiplo irracional de π , por lo que ningún número de operaciones repetidas produce una traslación pura. Esta construcción fue extendida posteriormente por John Horton Conway y Ludwig Danzer a un prototile aperiódico convexo , el teselado de Schmitt-Conway-Danzer . La presencia de la simetría helicoidal resultó en una reevaluación de los requisitos para la no periodicidad. ^{[ 3 ]} Chaim Goodman-Strauss sugirió que un teselado se considerara fuertemente aperiódico si no admitía ningún grupo cíclico infinito de movimientos euclidianos como simetrías, y que solo los conjuntos de teselas que impusieran una fuerte aperiodicidad se llamaran fuertemente aperiódicos, mientras que otros conjuntos se llamarían débilmente aperiódicos . ^{[ 4 ]}

En 1996, Petra Gummelt construyó una tesela decagonal decorada y demostró que, cuando se permiten dos tipos de solapamientos entre pares de teselas, estas pueden cubrir el plano, pero solo de forma no periódica. ^{[ 5 ]} Un teselado se entiende generalmente como una cobertura sin solapamientos, por lo que la tesela de Gummelt no se considera una prototeela aperiódica. Un conjunto de teselas aperiódicas en el plano euclidiano que consta de una sola tesela —la tesela de Socolar-Taylor— fue propuesto a principios de 2010 por Joshua Socolar y Joan Taylor. ^{[ 6 ]} Esta construcción requiere reglas de correspondencia, reglas que restringen la orientación relativa de dos teselas y que hacen referencia a las decoraciones dibujadas en las teselas, y estas reglas se aplican a pares de teselas no adyacentes. Alternativamente, se puede construir una tesela sin decorar sin reglas de correspondencia, pero la tesela no está conectada. La construcción puede extenderse a una tesela tridimensional conectada sin reglas de correspondencia, pero esta tesela permite teselaciones periódicas en una dirección, por lo que es solo débilmente aperiódica. Además, la tesela no es simplemente conexa.

El mosaico descubierto por David Smith

Una de las infinitas teselas de Smith-Myers-Kaplan-Goodman-Strauss. Las teselas amarillas son las versiones reflejadas de las teselas azules.

En noviembre de 2022, el matemático aficionado David Smith descubrió una tesela con forma de "sombrero" formada por ocho copias de un cometa de 60°–90°–120°–90° ( trihexagonales deltoidales ), pegadas borde con borde, que parecía cubrir el plano solo de forma aperiódica. ^{[ 7 ]} Smith reclutó al matemático Craig S. Kaplan , y posteriormente a Joseph Samuel Myers y Chaim Goodman-Strauss , y en marzo de 2023 publicaron una preimpresión que demostraba que el "sombrero", cuando se considera con su imagen especular, forma un conjunto prototile aperiódico. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Además, el sombrero se puede generalizar a una familia infinita de teselas con la misma propiedad aperiódica. Este resultado se publicó formalmente en la revista Combinatorial Theory en julio de 2024. ^{[ 8 ]}

A la izquierda, el mosaico (1,1) de Smith, Myers, Kaplan y Goodmann-Strauss. Se obtiene un espectro modificando los bordes de este polígono, como en los ejemplos del centro y de la derecha.

En mayo de 2023, Smith, Myers, Kaplan y Goodman-Strauss publicaron un nuevo preimpreso sobre una familia de formas relacionadas con el "sombrero", llamadas "espectros", cada una de las cuales puede teselar el plano usando solo rotaciones y traslaciones. ^{[ 10 ]} Además, el "espectro" es un monotese aperiódico "estrictamente quiral": incluso con reflexiones, cada teselado es no periódico y usa solo una quiralidad del espectro. Es decir, no hay teselados del plano que usen tanto el espectro como su espejo.

En 2023, un concurso público organizado por el Museo Nacional de Matemáticas de Nueva York y el United Kingdom Mathematics Trust de Londres invitó a la gente a presentar representaciones creativas del sombrero de Einstein. De entre más de 245 propuestas de 32 países, se eligieron tres ganadores, quienes recibieron premios en una ceremonia en la Cámara de los Comunes . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Los análogos moleculares de las teselas de Einstein pueden utilizarse para formar cuasicristales quirales bidimensionales . ^{[ 13 ]}

Las aplicaciones macroscópicas en ingeniería incluyen panales de abeja basados ​​en extrusiones de teselas de sombrero bidimensionales en formas bidimensionales y media ^{[ 14 ]} y materiales compuestos que utilizan teselas de sombrero para crear redes dúctiles continuas dentro de una matriz dura y frágil. ^{[ 15 ]} Se ha descubierto que los panales de abeja tienen una relación de Poisson cero para un amplio rango de densidades relativas y, por lo tanto, para un rango de valores de módulo elástico . Los compuestos ofrecen mayor rigidez junto con mayor tenacidad en comparación con compuestos similares con una red basada en hexágonos.

También resultan interesantes las aplicaciones de la familia infinita de teselas, basadas en el sombrero. Se definen por una geometría que varía continuamente, lo que puede dar lugar a propiedades que también varían continuamente. Por ejemplo, los panales de abeja basados ​​en esta familia demuestran una relación de Poisson que varía continuamente . ^{[ 16 ]}

• Teselado binario , un teselado débilmente aperiódico del plano hiperbólico con una sola tesela.
• Azulejo Schmitt–Conway–Danzer , en tres dimensiones

• Un monotilo aperiódico de Smith, Myers, Kaplan y Goodman-Strauss
• Haran, Brady; MacDonald, Ayliean (2023). "Un nuevo azulejo en Newtyle" (vídeo). Numberphile .