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Elasticidad (física)

En mecánica de medios continuos y ciencia de los materiales , la elasticidad es la capacidad de un cuerpo para resistir una influencia deformante y recuperar su tamaño y forma o...

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En mecánica de medios continuos y ciencia de los materiales , la elasticidad es la capacidad de un cuerpo para resistir una influencia deformante y recuperar su tamaño y forma originales cuando se elimina dicha influencia o fuerza . Los objetos sólidos se deforman al aplicarles cargas adecuadas ; si el material es elástico, el objeto recuperará su forma y tamaño iniciales tras la eliminación de la carga. Esto contrasta con la plasticidad , en la que el objeto no se deforma y permanece en su estado deformado.

Las razones físicas del comportamiento elástico pueden variar considerablemente según el material. En los metales , la red atómica cambia de tamaño y forma al aplicar fuerzas (se añade energía al sistema). Al retirar las fuerzas, la red vuelve a su estado original de menor energía. En el caso de los cauchos y otros polímeros , la elasticidad se debe al estiramiento de las cadenas poliméricas al aplicar fuerzas.

La ley de Hooke establece que la fuerza necesaria para deformar objetos elásticos debe ser directamente proporcional a la distancia de deformación, independientemente de su magnitud. Esto se conoce como elasticidad perfecta , en la que un objeto recupera su forma original sin importar la intensidad de la deformación. Sin embargo, este es un concepto ideal ; en la práctica, la mayoría de los materiales elásticos se mantienen puramente elásticos solo hasta deformaciones muy pequeñas, tras las cuales se produce una deformación plástica (permanente).

En ingeniería , la elasticidad de un material se cuantifica mediante el módulo elástico , como el módulo de Young , el módulo volumétrico o el módulo de cizalladura , que miden la cantidad de tensión necesaria para lograr una unidad de deformación ; un módulo más alto indica que el material es más difícil de deformar. La unidad del SI para este módulo es el pascal (Pa). El límite elástico o límite de fluencia del material es la tensión máxima que puede producirse antes de que comience la deformación plástica. Su unidad del SI también es el pascal (Pa).

Descripción general

Cuando un material elástico se deforma debido a una fuerza externa, experimenta resistencia interna a la deformación y lo restaura a su estado original cuando la fuerza externa deja de aplicarse. Existen varios módulos elásticos , como el módulo de Young , el módulo de corte y el módulo volumétrico , [ 1 ] todos los cuales son medidas de las propiedades elásticas inherentes de un material como resistencia a la deformación bajo una carga aplicada. Los distintos módulos se aplican a diferentes tipos de deformación. Por ejemplo, el módulo de Young se aplica a la extensión/compresión de un cuerpo, mientras que el módulo de corte se aplica a su corte . [ 2 ] El módulo de Young y el módulo de corte son solo para sólidos, mientras que el módulo volumétrico es para sólidos, líquidos y gases.

La elasticidad de los materiales se describe mediante una curva tensión-deformación , que muestra la relación entre la tensión (la fuerza interna restauradora promedio por unidad de área) y la deformación (la deformación relativa). [ 3 ] La curva es generalmente no lineal, pero puede (mediante el uso de una serie de Taylor ) aproximarse como lineal para deformaciones suficientemente pequeñas (en las que los términos de orden superior son despreciables). Si el material es isotrópico , la relación tensión-deformación linealizada se denomina ley de Hooke , [ 4 ] que a menudo se presume que se aplica hasta el límite elástico para la mayoría de los metales o materiales cristalinos, mientras que la elasticidad no lineal generalmente se requiere para modelar grandes deformaciones de materiales gomosos incluso en el rango elástico. Para tensiones aún mayores, los materiales exhiben un comportamiento plástico , es decir, se deforman irreversiblemente y no regresan a su forma original después de que la tensión deja de aplicarse. [ 5 ] Para materiales similares al caucho, como los elastómeros , la pendiente de la curva tensión-deformación aumenta con la tensión, lo que significa que los cauchos se vuelven progresivamente más difíciles de estirar, mientras que para la mayoría de los metales, el gradiente disminuye a tensiones muy altas, lo que significa que se vuelven progresivamente más fáciles de estirar. [ 6 ] La elasticidad no se exhibe solo en sólidos; los fluidos no newtonianos , como los fluidos viscoelásticos , también exhibirán elasticidad en ciertas condiciones cuantificadas por el número de Deborah . En respuesta a una pequeña deformación aplicada y eliminada rápidamente, estos fluidos pueden deformarse y luego volver a su forma original. Bajo deformaciones mayores, o deformaciones aplicadas durante períodos de tiempo más largos, estos fluidos pueden comenzar a fluir como un líquido viscoso .

Dado que la elasticidad de un material se describe mediante una relación tensión-deformación, es fundamental definir con precisión los términos tensión y deformación . Generalmente, se consideran dos tipos de relación. El primero se refiere a materiales elásticos únicamente para pequeñas deformaciones. El segundo se refiere a materiales que no se limitan a pequeñas deformaciones. Evidentemente, el segundo tipo de relación es más general, ya que debe incluir el primero como un caso particular.

Para deformaciones pequeñas, la medida de tensión que se utiliza es la tensión de Cauchy, mientras que la medida de deformación que se utiliza es el tensor de deformación infinitesimal ; el comportamiento del material resultante (predicho) se denomina elasticidad lineal , que (para medios isótropos ) se llama ley de Hooke generalizada . Los materiales elásticos de Cauchy y los materiales hipoelásticos son modelos que extienden la ley de Hooke para permitir la posibilidad de grandes rotaciones, grandes distorsiones y anisotropía intrínseca o inducida .

Para situaciones más generales, se puede utilizar cualquiera de varias medidas de tensión , y generalmente se desea (pero no se requiere) que la relación tensión-deformación elástica se formule en términos de una medida de deformación finita que sea conjugada con el trabajo de la medida de tensión seleccionada, es decir, la integral temporal del producto interno de la medida de tensión con la tasa de la medida de deformación debe ser igual al cambio en la energía interna para cualquier proceso adiabático que permanezca por debajo del límite elástico.

Unidades

Sistema Internacional

La unidad del SI para la elasticidad y el módulo elástico es el pascal (Pa). Esta unidad se define como fuerza por unidad de área, generalmente una medida de presión , que en mecánica corresponde a la tensión . El pascal y, por lo tanto, la elasticidad tienen la dimensión L −1 ⋅M⋅T −2 .

Para la mayoría de los materiales de ingeniería de uso común, el módulo elástico se encuentra en la escala de gigapascales (GPa, 10⁹ Pa ).

elasticidad lineal

Como se mencionó anteriormente, para pequeñas deformaciones, la mayoría de los materiales elásticos, como los resortes, exhiben elasticidad lineal y pueden describirse mediante una relación lineal entre la tensión y la deformación. Esta relación se conoce como la ley de Hooke . Una versión de la idea que depende de la geometría [ a ] fue formulada por primera vez por Robert Hooke en 1675 como un anagrama en latín , "ceiiinosssttuv". Publicó la respuesta en 1678: " Ut tensio, sic vis ", que significa " Como la extensión, así la fuerza " [ 7 ] [ 8 ], una relación lineal comúnmente conocida como la ley de Hooke . Esta ley puede expresarse como una relación entre la fuerza de tracción F y el desplazamiento de extensión correspondiente.incógnita{\displaystyle x},

F=kincógnita,{\displaystyle F=kx,}

donde k es una constante conocida como constante elástica o constante de velocidad . También se puede expresar como una relación entre la tensión.σ{\displaystyle \sigma }y tensiónε{\displaystyle \varepsilon }:

σ=miε,{\displaystyle \sigma =E\varepsilon,}

donde E se conoce como el módulo de Young . [ 9 ]

Aunque la constante de proporcionalidad general entre la tensión y la deformación en tres dimensiones es un tensor de cuarto orden llamado rigidez , los sistemas que presentan simetría , como una barra unidimensional, a menudo pueden reducirse a aplicaciones de la ley de Hooke.

Elasticidad finita

El comportamiento elástico de los objetos que experimentan deformaciones finitas se ha descrito utilizando diversos modelos, como los modelos de materiales elásticos de Cauchy , los modelos de materiales hipoelásticos y los modelos de materiales hiperelásticos . El gradiente de deformación ( F ) es la principal medida de deformación utilizada en la teoría de deformaciones finitas .

materiales elásticos de Cauchy

Se dice que un material es elástico de Cauchy si el tensor de tensiones de Cauchy σ es función únicamente del gradiente de deformación F :

 σ=GRAMO(F){\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}

En general, es incorrecto afirmar que la tensión de Cauchy es simplemente una función de un tensor de deformación , ya que dicho modelo carece de información crucial sobre la rotación del material necesaria para producir resultados correctos para un medio anisotrópico sometido a una extensión vertical en comparación con la misma extensión aplicada horizontalmente y luego sometida a una rotación de 90 grados; ambas deformaciones tienen los mismos tensores de deformación espacial, pero deben producir valores diferentes del tensor de tensión de Cauchy.

Aunque la tensión en un material elástico de Cauchy depende únicamente del estado de deformación, el trabajo realizado por las tensiones puede depender de la trayectoria de la deformación. Por lo tanto, la elasticidad de Cauchy incluye modelos no conservativos "no hiperelásticos" (en los que el trabajo de deformación depende de la trayectoria) así como modelos conservativos de " material hiperelástico " (para los cuales la tensión puede derivarse de una función escalar de "potencial elástico").

Materiales hipoelásticos

Un material hipoelástico puede definirse rigurosamente como aquel que se modela utilizando una ecuación constitutiva que satisface los dos criterios siguientes: [ 10 ]

  1. El estrés de Cauchyσ{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}en ese momentot{\displaystyle t}Depende únicamente del orden en que el cuerpo ha ocupado sus configuraciones pasadas, pero no de la velocidad a la que se recorrieron dichas configuraciones. Como caso especial, este criterio incluye un material elástico de Cauchy , para el cual la tensión actual depende únicamente de la configuración actual y no del historial de configuraciones pasadas.
  2. Hay una función con valores tensoriales.GRAMO{\displaystyle G}de tal manera queσ˙=GRAMO(σ,L),{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,}en el cualσ˙{\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}es la tasa material del tensor de tensiones de Cauchy, yL{\displaystyle {\boldsymbol {L}}}es el tensor gradiente de velocidad espacial .

Si solo se utilizan estos dos criterios originales para definir la hipoelasticidad, la hiperelasticidad quedaría incluida como un caso especial, lo que lleva a algunos modeladores constitutivos a añadir un tercer criterio que exige específicamente que un modelo hipoelástico no sea hiperelástico (es decir, la hipoelasticidad implica que la tensión no se deriva de un potencial energético). Si se adopta este tercer criterio, se deduce que un material hipoelástico podría admitir trayectorias de carga adiabática no conservativas que comienzan y terminan con el mismo gradiente de deformación , pero no con la misma energía interna.

Tenga en cuenta que el segundo criterio solo requiere que la funciónGRAMO{\displaystyle G}existe . Como se detalla en el artículo principal sobre materiales hipoelásticos , las formulaciones específicas de los modelos hipoelásticos suelen emplear las llamadas tasas objetivas para que elGRAMO{\displaystyle G}La función existe solo implícitamente y normalmente solo se necesita explícitamente para las actualizaciones numéricas de tensión realizadas mediante la integración directa de la tasa de tensión real (no objetiva).

Materiales hiperelásticos

Los materiales hiperelásticos (también llamados materiales elásticos verdes) son modelos conservativos que se derivan de una función de densidad de energía de deformación ( W ). Un modelo es hiperelástico si y solo si es posible expresar el tensor de tensiones de Cauchy como una función del gradiente de deformación mediante una relación de la forma

σ=1J ∂W∂FFTdóndeJ:=detF.{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{donde}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}

Esta formulación toma el potencial de energía ( W ) como una función del gradiente de deformación (F{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}). Al requerir también la satisfacción de la objetividad material , el potencial energético puede considerarse alternativamente como una función del tensor de deformación de Cauchy-Green (do:=FTF{\displaystyle {\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {F}}}), en cuyo caso el modelo hiperelástico puede escribirse alternativamente como

σ=2J F∂W∂doFTdóndeJ:=detF.{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\quad {\text{where}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.}

Aplicaciones

La elasticidad lineal se utiliza ampliamente en el diseño y análisis de estructuras como vigas , placas, láminas y materiales compuestos tipo sándwich . Esta teoría también constituye la base de gran parte de la mecánica de fractura .

La hiperelasticidad se utiliza principalmente para determinar la respuesta de objetos basados ​​en elastómeros , como juntas , y de materiales biológicos, como tejidos blandos y membranas celulares .

Factores que afectan la elasticidad

En un sólido isotrópico dado , con elasticidad teórica conocida para el material en términos del módulo de Young, la elasticidad efectiva estará determinada por la porosidad . Generalmente, un material más poroso exhibirá menor rigidez. Más específicamente, la fracción de poros, su distribución en diferentes tamaños y la naturaleza del fluido con el que están llenos dan lugar a diferentes comportamientos elásticos en los sólidos. [ 11 ]

Para materiales isotrópicos que contienen grietas, la presencia de fracturas afecta los módulos de Young y de corte perpendiculares a los planos de las grietas, que disminuyen (el módulo de Young más rápido que el módulo de corte) a medida que aumenta la densidad de fracturas, [ 12 ] lo que indica que la presencia de grietas hace que los cuerpos sean más frágiles. Microscópicamente , la relación tensión-deformación de los materiales está generalmente regida por la energía libre de Helmholtz , una cantidad termodinámica . Las moléculas se asientan en la configuración que minimiza la energía libre, sujeta a restricciones derivadas de su estructura, y, dependiendo de si el término de energía o el de entropía domina la energía libre, los materiales pueden clasificarse ampliamente como elásticamente energéticos y elásticamente entrópicos . Como tal, los factores microscópicos que afectan la energía libre, como la distancia de equilibrio entre moléculas, pueden afectar la elasticidad de los materiales: por ejemplo, en materiales inorgánicos , a medida que aumenta la distancia de equilibrio entre moléculas a 0 K , el módulo de compresibilidad disminuye. [ 13 ] El efecto de la temperatura sobre la elasticidad es difícil de aislar, porque existen numerosos factores que la afectan. Por ejemplo, el módulo de compresibilidad de un material depende de la forma de su red , su comportamiento bajo expansión , así como de las vibraciones de las moléculas, todo lo cual depende de la temperatura. [ 14 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Las descripciones del comportamiento de los materiales deben ser independientes de la geometría y la forma del objeto fabricado con dicho material. La versión original de la ley de Hooke incluye una constante de rigidez que depende del tamaño y la forma iniciales del objeto. Por lo tanto, la constante de rigidez no es estrictamente una propiedad del material.

Referencias

  1. ↑ Phani, KK; Sanyal, Dipayan (25 de agosto de 2008). "Las relaciones entre el módulo de corte, el módulo volumétrico y el módulo de Young para materiales cerámicos isotrópicos porosos". Materials Science and Engineering: A. 490 ( 1–2 ) . Elsevier: 305–312 . doi : 10.1016/j.msea.2008.01.030 .
  2. ↑ Landau, LD; Lipshitz, EM (1970). Teoría de la elasticidad (3.ª ed.). págs. 1–172 .  
  3. ↑ Treloar, LRG (1975). La física de la elasticidad del caucho . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-1985-1355-1.
  4. ↑ Westerhof, N.; Stergiopulos, N.; Noble, MIM; Westerhof, BE (2019). "Elasticidad". Instantáneas de hemodinámica . Springer, Cham. doi : 10.1007/978-3-319-91932-4_10 . ISBN 978-3-319-91931-7.
  5. ↑ Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad: Teoría, aplicaciones y métodos numéricos . Oxford: Elsevier. ISBN 978-0-1237-4446-3.
  6. ↑ de With, Gijsbertus (2006). Estructura, deformación e integridad de los materiales, volumen I: fundamentos y elasticidad . Weinheim: Wiley VCH. pág. 32. ISBN  978-3-527-31426-3.
  7. ↑ Atanackovic, Teodor M.; Guran, Ardéshir (2000). «Ley de Hooke». Teoría de la elasticidad para científicos e ingenieros . Boston, Mass.: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4072-9.
  8. ↑ «Resistencia y diseño» . Siglos de ingeniería civil: una exposición de libros raros que celebra el legado de la ingeniería civil . Biblioteca Linda Hall de Ciencia, Ingeniería y Tecnología. Archivado del original el 13 de noviembre de 2010.
  9. ↑ Ibrahimbegovic, Adnan (2 de junio de 2009). Mecánica de sólidos no lineal: formulaciones teóricas y métodos de solución de elementos finitos . Springer Science & Business Media. págs. 20–26 . ISBN  978-90-481-2330-8Archivado del original el 28 de mayo de 2024. Consultado el 9 de julio de 2023 .
  10. ↑ Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). Las teorías de campo no lineales de la mecánica (3.ª ed.). Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag. pág. 401. ISBN   978-3-540-02779-9.
  11. ↑ Liu, Mingchao; Wu, Jian; Gan, Yixiang; Hanaor, Dorian AH; Chen, CQ (1 de mayo de 2019). "Modelado multiescala de las propiedades elásticas efectivas de materiales porosos llenos de fluido" . International Journal of Solids and Structures . 162 : 36–44 . doi : 10.1016/j.ijsolstr.2018.11.028 . hdl : 1959.4/unsworks_62323 .
  12. ↑ Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad: Teoría, aplicaciones y métodos numéricos . Oxford: Elsevier. ISBN 978-0-1237-4446-3.
  13. ↑ Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad: Teoría, aplicaciones y métodos numéricos . Oxford: Elsevier. ISBN 978-0-1237-4446-3.
  14. ↑ Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad: Teoría, aplicaciones y métodos numéricos . Oxford: Elsevier. ISBN 978-0-1237-4446-3.
  • Las Lecciones de Física de Feynman, Vol. II, Cap. 38: Elasticidad