Elasticidad de la sustitución intertemporal

Dada una función de utilidad${\displaystyle u(c)}$, dónde${\displaystyle c}$denota el nivel de consumo, el EIS se define como$${\displaystyle \sigma (c)=-{\frac {u'(c)}{cu''(c)}}}$$Nótese que esta definición es la inversa de la aversión relativa al riesgo .

Podemos definir una familia de funciones de utilidad, que pueden entenderse como la utilidad CRRA inversa:$${\displaystyle u_{\sigma }(c)={\begin{cases}{\frac {\sigma }{\sigma -1}}(c^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}-1){\text{ si }}\sigma \neq 1\\\ln c\quad {\text{si }}\sigma =1\end{cases}}}$$

Para cada${\displaystyle \sigma \neq 0}$la función de utilidad${\displaystyle u_{\sigma }}$tiene EIS constante${\displaystyle \sigma }$En las aplicaciones económicas habituales, existe una restricción.${\displaystyle \sigma >0}$, puesto que se supone que los agentes no son amantes del riesgo.

En el diagrama se puede ver que como${\displaystyle \sigma \to \infty }$La curva de utilidad se vuelve más lineal, lo que indica que el agente no intenta suavizar el consumo a lo largo del tiempo, de forma similar a como un agente neutral al riesgo no prefiere apuestas con resultados más suaves.

La derivación difiere para el tiempo discreto y el continuo. Veremos que, para la utilidad CRRA , ambos enfoques arrojan el mismo resultado. Las siguientes formas funcionales suponen que la utilidad derivada del consumo es aditivamente separable en el tiempo.

La utilidad total a lo largo de la vida viene dada por

${\displaystyle U=\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})}$

En este contexto, la tasa de interés real bruta${\displaystyle R}$se dará por la siguiente condición:

${\displaystyle Qu'(c_{t})=Q\beta Ru'(c_{t+1})}$

Una cantidad de dinero${\displaystyle Q}$costos invertidos hoy${\displaystyle Qu'(c_{t})}$unidades de utilidad, y por lo tanto debe producir exactamente esa cantidad de unidades de utilidad en el futuro cuando se ahorre al tipo de interés bruto vigente.${\displaystyle R=1+r}$, dónde${\displaystyle r}$es la tasa de interés neta (si generara más, el agente podría mejorar su situación ahorrando más).

Despejando el tipo de interés bruto, vemos que

${\displaystyle R={\frac {u'(c_{t})}{\beta u'(c_{t+1})}}}$

En los registros, tenemos

${\displaystyle \ln(R)=\ln(1+r)=-\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta }}$

Desde${\displaystyle \ln(1+r)\approx r}$para pequeños${\displaystyle r}$(los registros son muy cercanos a los cambios porcentuales) tenemos

${\displaystyle r\approx -\ln {\left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}-\ln {\beta }}$

La elasticidad de sustitución intertemporal se define como el cambio porcentual en el crecimiento del consumo por cada punto porcentual de aumento en la tasa de interés neta:

${\displaystyle {\frac {d\ln(c_{t+1}/c_{t})}{dr}}}$

Al sustituir en nuestra ecuación logarítmica anterior, podemos ver que esta definición es equivalente a la elasticidad del crecimiento del consumo con respecto al crecimiento de la utilidad marginal :

${\displaystyle -{\frac {d\ln(c_{t+1}/c_{t})}{d\ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}}$

Ambas definiciones son correctas, siempre y cuando el agente esté optimizando y tenga una utilidad separable en el tiempo.

Sea la utilidad del consumo en el período${\displaystyle t}$ser dado por

${\displaystyle u(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\sigma }}{1-\sigma }}.}$

Dado que esta función de utilidad pertenece a la familia de funciones de utilidad CRRA, tenemos${\displaystyle u'(c_{t})=c_{t}^{-\sigma }.}$ De este modo,

${\displaystyle \ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]=-\sigma \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right].}$

Esto se puede reescribir como

${\displaystyle \ln \left[{\frac {c_{t+1}}{c_{t}}}\right]=-{\frac {1}{\sigma }}\ln \left[{\frac {u'(c_{t+1})}{u'(c_{t})}}\right]}$

Por lo tanto, aplicando la fórmula derivada anterior

${\displaystyle -{\frac {\partial \ln(c_{t+1}/c_{t})}{\partial \ln(u'(c_{t+1})/u'(c_{t}))}}=-\left[-{\frac {1}{\sigma }}\right]={\frac {1}{\sigma }}.}$

Sea la utilidad total a lo largo de la vida dada por

${\displaystyle U=\int _{0}^{T}e^{-\rho t}u(c_{t})dt}$

dónde${\displaystyle c_{t}}$es una abreviatura de${\displaystyle c(t)}$,${\displaystyle u(c(t))}$es la utilidad del consumo en el tiempo (instantáneo) t, y${\displaystyle \rho }$es la tasa de descuento temporal. Primero definimos la medida de aversión relativa al riesgo (esto es útil incluso si el modelo no tiene incertidumbre o riesgo) como:

${\displaystyle RRA=-{\frac {d(u'(c_{t}))}{d(c_{t})}}{\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}=-u''(c_{t}){\frac {c_{t}}{u'(c_{t})}}}$

Entonces, la elasticidad de la sustitución intertemporal se define como

${\displaystyle EIS=-{\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial ({\dot {u}}'(c_{t})/u'(c_{t}))}}=-{\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial (u''(c_{t}){\dot {c}}_{t}/u'(c_{t}))}}={\frac {\partial ({\dot {c}}_{t}/c_{t})}{\partial (RRA\cdot ({\dot {c}}_{t}/c_{t}))}}={\frac {1}{RRA}}=-{\frac {u'(c_{t})}{u''(c_{t})\cdot c_{t}}}}$

Si la función de utilidad${\displaystyle u(c)}$es del tipo CRRA :

${\displaystyle u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$(con caso especial de${\displaystyle \theta =1}$ser${\displaystyle u(c)=\ln(c)}$)

Entonces, la elasticidad intertemporal de sustitución viene dada por${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$En general, un valor bajo de theta (alta elasticidad intertemporal) significa que el crecimiento del consumo es muy sensible a las variaciones del tipo de interés real. Para theta igual a 1, la tasa de crecimiento del consumo responde directamente a las variaciones del tipo de interés real. Un valor alto de theta implica un crecimiento del consumo poco sensible.