Cuadrupolo

Un ejemplo sencillo de un cuadrupolo eléctrico consiste en cargas positivas y negativas alternas, dispuestas en las esquinas de un cuadrado. El momento monopolar —la carga total— de esta disposición es cero. De manera similar, el momento dipolar es cero, independientemente del origen de coordenadas elegido. Una consecuencia de esto es que un cuadrupolo en un campo uniforme no experimenta ni una fuerza neta ni un par neto, aunque puede experimentar una fuerza o un par netos en un campo no uniforme dependiendo de los gradientes de campo en los diferentes sitios de carga. ^{[ 3 ]} A diferencia de los momentos monopolar y dipolar, el momento cuadrupolar de la disposición en el diagrama no puede reducirse a cero, independientemente de dónde coloquemos el origen de coordenadas. El potencial eléctrico de un cuadrupolo de carga eléctrica viene dado por ^{[ 4 ]}$${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}$$

dónde${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad eléctrica y${\displaystyle Q_{ij}}$sigue la definición anterior.

Alternativamente, otras fuentes ^{[ 5 ]} incluyen el factor de un medio en el${\displaystyle Q_{ij}}$el tensor mismo, de tal manera que:

$${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} )\left({\frac {3}{2}}r_{i}r_{j}-{\frac {1}{2}}\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\delta _{ij}\right)\,d^{3}\mathbf {r} ,}$$ y $${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ ,}$$

lo que hace más explícita la conexión con los polinomios de Legendre que resultan de la expansión multipolar, a saber, aquí${\textstyle P_{2}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}.}$

En los núcleos atómicos, el momento cuadrupolar eléctrico se utiliza como medida de la oblicuidad del núcleo, y el momento cuadrupolar en el núcleo viene dado por $${\displaystyle Q\equiv {\frac {1}{e}}\int r^{2}(\cos ^{2}(\theta )-1)\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} }$$ dónde${\displaystyle \mathbf {r} }$es la posición dentro del núcleo y${\displaystyle \rho }$da la densidad de carga en${\displaystyle \mathbf {r} }$. ^{[ 6 ]}

Un campo eléctrico construido utilizando cuatro varillas metálicas con un voltaje aplicado constituye la base del analizador de masas cuadrupolar , en el cual el campo eléctrico separa los iones en función de su relación masa-carga (m/z). ^{[ 7 ]}

Todas las fuentes magnéticas conocidas generan campos dipolares. Sin embargo, es posible crear un cuadrupolo magnético colocando cuatro imanes de barra idénticos perpendiculares entre sí, de manera que el polo norte de uno quede junto al polo sur del otro. Esta configuración anula el momento dipolar y genera un momento cuadrupolar, cuyo campo disminuye a grandes distancias más rápidamente que el de un dipolo.

En la imagen de la derecha se muestra un ejemplo de cuadrupolo magnético, que utiliza imanes permanentes. Los electroimanes de diseño conceptual similar (denominados imanes cuadrupolares ) se utilizan comúnmente para enfocar haces de partículas cargadas en aceleradores de partículas y líneas de transporte de haces, un método conocido como enfoque fuerte . Dado que una configuración de cuadrupolo determinada desvía las partículas cargadas en una dirección y las enfoca en otra, mediante el uso de imanes cuadrupolares alternos se puede lograr que un haz de partículas se enfoque en la dirección de propagación. ^{[ 8 ]} Hay cuatro puntas de polo de acero, dos polos norte magnéticos opuestos y dos polos sur magnéticos opuestos. El acero se magnetiza mediante una gran corriente eléctrica que fluye por las bobinas de tubos enrolladas alrededor de los polos.

Un momento cuadrupolar magnético variable produce radiación electromagnética .

El cuadrupolo de masa es análogo al cuadrupolo de carga eléctrica, donde la densidad de carga se reemplaza simplemente por la densidad de masa y se agrega un signo negativo porque las masas siempre son positivas y la fuerza es atractiva. El potencial gravitatorio se expresa entonces como: $${\displaystyle V_{\text{q}}(\mathbf {R} )=-{\frac {G}{2|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,{\hat {R}}_{i}{\hat {R}}_{j}\ .}$$

Por ejemplo, debido a que la Tierra está rotando, es oblata (achatada en los polos). Esto le da un momento cuadrupolar distinto de cero. Si bien la contribución al campo gravitatorio de la Tierra de este cuadrupolo es extremadamente importante para los satélites artificiales cercanos a la Tierra, es menos importante para la Luna porque${\displaystyle {1}/{|\mathbf {R} |^{3}}}$El plazo cae rápidamente.

El momento cuadrupolar de masa también es importante en la relatividad general porque, si cambia en el tiempo, puede producir radiación gravitacional , similar a la radiación electromagnética producida por dipolos eléctricos o magnéticos oscilantes y multipolos superiores. Sin embargo, solo los momentos cuadrupolares y superiores pueden irradiar gravitacionalmente. El monopolo de masa representa la masa-energía total en un sistema, que se conserva; por lo tanto, no emite radiación. De manera similar, el dipolo de masa corresponde al centro de masa de un sistema y su primera derivada representa el momento, que también es una cantidad conservada, por lo que el dipolo de masa tampoco emite radiación. Sin embargo, el cuadrupolo de masa puede cambiar en el tiempo y es la contribución de orden más bajo a la radiación gravitacional. ^{[ 9 ]} Debido a que solo los momentos multipolares de masa por encima del momento dipolar pueden contribuir a la radiación gravitacional, la radiación gravitacional es significativamente más débil en magnitud que la radiación electromagnética. ^{[ 10 ]} La magnitud de la radiación gravitacional, u onda gravitacional, se puede describir mediante la fórmula del cuadrupolo de Einstein . ^{[ 11 ]}

El ejemplo más simple e importante de un sistema radiante es un par de puntos de masa con masas iguales que orbitan uno alrededor del otro en una órbita circular, una aproximación a, por ejemplo, el caso especial de agujeros negros binarios . Dado que el momento dipolar es constante, podemos, por conveniencia, colocar el origen de coordenadas justo entre los dos puntos. Entonces el momento dipolar será cero, y si también escalamos las coordenadas de modo que los puntos estén a una distancia unitaria del centro, en dirección opuesta, el momento cuadrupolar del sistema será simplemente $${\displaystyle Q_{ij}=M\left(3x_{i}x_{j}-|\mathbf {x} |^{2}\delta _{ij}\right)}$$

donde M es la masa de cada punto,${\displaystyle x_{i}}$son componentes del vector de posición (unitario) de uno de los puntos, y${\displaystyle \displaystyle \delta _{ij}}$es la delta de Kronecker. ^{[ 12 ]} A medida que orbitan, este vector x rotará, lo que significa que tendrá una primera derivada temporal distinta de cero, y también una segunda derivada temporal distinta de cero (esto es cierto, por supuesto, independientemente de la elección del sistema de coordenadas). Por lo tanto, el sistema irradiará ondas gravitacionales. La energía perdida de esta manera se observó por primera vez en el período variable del sistema binario Hulse-Taylor , un púlsar en órbita con otra estrella de neutrones de masa similar.

Así como la carga eléctrica y los multipolos de corriente contribuyen al campo electromagnético, la masa y los multipolos masa-corriente contribuyen al campo gravitatorio en la relatividad general, causando los llamados efectos gravitomagnéticos . Los multipolos masa-corriente cambiantes también pueden emitir radiación gravitatoria. Sin embargo, las contribuciones de los multipolos de corriente suelen ser mucho menores que las del cuadrupolo de masa. ^{[ 13 ]}