energía potencial eléctrica

La energía potencial eléctrica es una energía potencial (medida en julios ) que resulta de las fuerzas de Coulomb conservativas y está asociada con la configuración de un conjunto particular de cargas puntuales dentro de un sistema definido . Se puede decir que un objeto tiene energía potencial eléctrica en virtud de su propia carga eléctrica o de su posición relativa con respecto a otros objetos cargados eléctricamente .

El término "energía potencial eléctrica" se utiliza para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos variables en el tiempo , mientras que el término "energía potencial electrostática" se utiliza para describir la energía potencial en sistemas con campos eléctricos invariables en el tiempo .

Definición

La energía potencial eléctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo necesario para reunir dichas cargas, acercándolas entre sí, como ocurre en un sistema situado a una distancia infinita. Alternativamente, la energía potencial eléctrica de cualquier carga o sistema de cargas se define como el trabajo total realizado por un agente externo para trasladar la carga o el sistema de cargas desde el infinito hasta su configuración actual sin experimentar aceleración alguna.

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en la posición r en presencia de un campo eléctrico E se define como el negativo del trabajo W realizado por la fuerza electrostática para llevarla desde la posición de referencia r _ref^{[ nota 1 ]} hasta esa posición r . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{: §25-1}

${\begin{aligned}U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )&=-W_{r_{\text{ref}}\to r}\\&=-\int _{\mathbf {r} _{\text{ref}}}^{\mathbf {r} }q\mathbf {E} (\mathbf {r'} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r'} \end{aligned}}$

donde E es el campo electrostático y d r' es el vector de desplazamiento en una curva desde la posición de referencia r _ref hasta la posición final r .

La energía potencial electrostática también puede definirse a partir del potencial eléctrico de la siguiente manera:

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en la posición r en presencia de un potencial eléctrico

V

se define como el producto de la carga y el potencial eléctrico.

$U_{\mathrm {E} }(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )$

dónde

V

es el potencial eléctrico generado por las cargas, que es una función de la posición r .

Unidades

La unidad del SI para la energía potencial eléctrica es el julio (llamado así en honor al físico inglés James Prescott Joule ). En el sistema CGS, el ergio es la unidad de energía, equivalente a 10⁻⁷ ^julios . También se pueden usar electronvoltios , donde 1 eV = 1,602 × ^10⁻¹⁹ julios.

energía potencial electrostática de una carga puntual

Una carga puntual q en presencia de otra carga puntual Q

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en la posición r en presencia de una carga puntual Q , tomando como posición de referencia una separación infinita entre las cargas, es:

$U_{E}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _ {0}}}{\frac {qQ}{r}}$

donde r es la distancia entre las cargas puntuales q y Q , y q y Q son las cargas (no sus valores absolutos; es decir, un electrón tendría una carga negativa en la fórmula). El siguiente esquema de demostración muestra la derivación de esta fórmula a partir de la definición de energía potencial eléctrica y la ley de Coulomb .

Esquema de la prueba

La fuerza electrostática F que actúa sobre una carga q se puede escribir en términos del campo eléctrico E como $\mathbf {F} =q\mathbf {E},$

Por definición, el cambio en la energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q que se ha movido de la posición de referencia r _ref a la posición r en presencia de un campo eléctrico E es el negativo del trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevarla de la posición de referencia r _ref a esa posición r .

$U_{E}(r)-U_{E}(r_{\rm {ref}})=-W_{r_{\rm {ref}}\rightarrow r}=-\int _{{r}_{\rm {ref}}}^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} .$

dónde:

r = posición en el espacio 3d de la carga q , usando coordenadas cartesianas r = ( x , y , z ), tomando la posición de la carga Q en r = (0,0,0), el escalar r = | r | es la norma del vector de posición,
d s = vector de desplazamiento diferencial a lo largo de una trayectoria C que va de r _ref a r ,
$W_{r_{\text{ref}}\to r}$ es el trabajo realizado por la fuerza electrostática para llevar la carga desde la posición de referencia r _ref a r ,

Normalmente, U _E se establece en cero cuando r _ref es infinito: $U_{E}(r_{\rm {ref}}=\infty )=0$ entonces $U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s}$

Cuando el rotacional ∇ × E es cero, la integral de línea anterior no depende de la trayectoria C elegida, sino únicamente de sus extremos. Esto ocurre en campos eléctricos invariantes en el tiempo. Al hablar de energía potencial electrostática, siempre se asume que los campos eléctricos son invariantes en el tiempo; por lo tanto, en este caso, el campo eléctrico es conservativo y se puede utilizar la ley de Coulomb.

Utilizando la ley de Coulomb , se sabe que la fuerza electrostática F y el campo eléctrico E creados por una carga puntual discreta Q están dirigidos radialmente desde Q. Por la definición del vector de posición r y el vector de desplazamiento s , se deduce que r y s también están dirigidos radialmente desde Q. Por lo tanto, E y d s deben ser paralelos:

$\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\left|\mathbf {E} \right|\cdot \left|\mathrm {d} \mathbf {s} \right|\cos(0)=E\,\mathrm {d} s$

Utilizando la ley de Coulomb, el campo eléctrico viene dado por

$\left|\mathbf {E} \right|=E={\frac {1}{4\pi \varepsilon _ {0}}}{\frac {Q}{s^{2}}}$

y la integral se puede evaluar fácilmente:

$U_{E}(r)=-\int _{\infty }^{r}q\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-\int _{\infty }^{r}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{s^{2}}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ}{r}}=k_{e}{\frac {qQ}{r}}$

Una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q _i

{\displaystyle U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)} — Energía potencial electrostática de q debida al sistema de cargas Q ₁ y Q _{2 :} $U_{E}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q_{1}}{r_{1}}}+{\frac {Q_{2}}{r_{2}}}\right)$

La energía potencial electrostática, U _E , de una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q _i , tomando como posición de referencia una separación infinita entre las cargas, es:

$U_{E}(r)={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{r_{i}}},$

donde r _i es la distancia entre las cargas puntuales q y Q _i , y q y Q _i son los valores asignados a las cargas.

energía potencial electrostática almacenada en un sistema de cargas puntuales

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de N cargas q ₁ , q ₂ , …, q _N en las posiciones r ₁ , r ₂ , …, r _N respectivamente, es:

donde, para cada valor de i , V( r _i ) es el potencial electrostático debido a todas las cargas puntuales excepto la que se encuentra en r _i , ^{[ nota 2 ]} y es igual a: $V(\mathbf {r} _{i})=k_{e}\sum _{\stackrel {j=1}{j\neq i}}^{N}{\frac {q_{j}}{r_{ij}}},$ donde r _ij es la distancia entre q _i y q _j .

Esquema de la prueba

La energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de dos cargas es igual a la energía potencial electrostática de una carga en el potencial electrostático generado por la otra. Es decir, si la carga q ₁ genera un potencial electrostático V ₁ , que es una función de la posición r , entonces $U_{\mathrm {E} }=q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2}).$

Realizando el mismo cálculo con respecto a la otra carga, obtenemos $U_{\mathrm {E} }=q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1}).$

La energía potencial electrostática es compartida mutuamente por $q_{1}$ y $q_{2}$ , por lo que la energía total almacenada es $U_{E}={\frac {1}{2}}\left[q_{2}V_{1}(\mathbf {r} _{2})+q_{1}V_{2}(\mathbf {r} _{1})\right]$

Esto se puede generalizar diciendo que la energía potencial electrostática U _E almacenada en un sistema de n cargas q ₁ , q ₂ , …, q _n en las posiciones r ₁ , r ₂ , …, r _n respectivamente, es:

$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}V(\mathbf {r} _{i}).$

Energía almacenada en un sistema de carga puntual

La energía potencial electrostática de un sistema que contiene una sola carga puntual es cero, ya que no existen otras fuentes de fuerza electrostática contra las cuales un agente externo deba realizar trabajo para mover la carga puntual desde el infinito hasta su ubicación final.

Una pregunta frecuente surge en relación con la interacción de una carga puntual con su propio potencial electrostático. Dado que esta interacción no provoca el movimiento de la carga puntual en sí, no contribuye a la energía almacenada en el sistema.

Energía almacenada en un sistema de dos cargas puntuales

Consideremos llevar una carga puntual, q , a su posición final cerca de una carga puntual, Q _1. El potencial eléctrico V ( r ) debido a Q ₁ es $V(\mathbf {r} )=k_{e}{\frac {Q_{1}}{r}}$

Por lo tanto, obtenemos la energía potencial electrostática de q en el potencial de Q ₁ como $U_{E}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {qQ_{1}}{r_{1}}}$ donde r ₁ es la separación entre las dos cargas puntuales.

Energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales

La energía potencial electrostática de un sistema de tres cargas no debe confundirse con la energía potencial electrostática de Q ₁ debida a dos cargas Q ₂ y Q ₃ , porque esta última no incluye la energía potencial electrostática del sistema de las dos cargas Q ₂ y Q ₃ .

La energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas es: $U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]$

Esquema de la prueba

Utilizando la fórmula dada en ( 1 ), la energía potencial electrostática del sistema de las tres cargas será entonces: $U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}\left[Q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+Q_{2}V(\mathbf {r} _{2})+Q_{3}V(\mathbf {r} _{3})\right]$

Dónde $V(\mathbf {r} _{1})$ es el potencial eléctrico en r ₁ creado por las cargas Q ₂ y Q ₃ , $V(\mathbf {r} _{2})$ es el potencial eléctrico en r ₂ creado por las cargas Q ₁ y Q ₃ , y $V(\mathbf {r} _{3})$ es el potencial eléctrico en r ₃ creado por las cargas Q ₁ y Q ₂ . Los potenciales son:

$V(\mathbf {r} _{1})=V_{2}(\mathbf {r} _{1})+V_{3}(\mathbf {r} _{1})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{13}}}$ $V(\mathbf {r} _{2})=V_{1}(\mathbf {r} _{2})+V_{3}(\mathbf {r} _{2})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{3}}{r_{23}}}$ $V(\mathbf {r} _{3})=V_{1}(\mathbf {r} _{3})+V_{2}(\mathbf {r} _{3})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{r_{32}}}$

Donde r _ij es la distancia entre la carga Q _i y Q _j .

Si añadimos todo:

$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{2}}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{1}}{r_{21}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}+{\frac {Q_{3}Q_{1}}{r_{31}}}+{\frac {Q_{3}Q_{2}}{r_{32}}}\right]$

Finalmente, obtenemos que la energía potencial electrostática almacenada en el sistema de tres cargas:

$U_{\mathrm {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r_{12}}}+{\frac {Q_{1}Q_{3}}{r_{13}}}+{\frac {Q_{2}Q_{3}}{r_{23}}}\right]$

Energía almacenada en una distribución de campo electrostático en el vacío

La densidad de energía, o energía por unidad de volumen, ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$ , del campo electrostático de una distribución de carga continua es: $u_{e}={\frac {dU}{dV}}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.$

Esquema de la prueba

Se puede tomar la ecuación para la energía potencial electrostática de una distribución de carga continua y expresarla en términos del campo electrostático .

Dado que la ley de Gauss para el campo electrostático en forma diferencial establece $\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ dónde

$\mathbf {E}$ es el vector del campo eléctrico
$\rho$ es la densidad de carga total , incluyendo las cargas dipolares ligadas en un material.
$dV$ es un elemento de volumen
$\Phi$ es el potencial eléctrico
$\varepsilon _{0}$ es la permitividad del espacio libre ,

entonces, ${\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\rho (r)\Phi (r)\,dV\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\varepsilon _{0}(\mathbf {\nabla } \cdot {\mathbf {E} })\Phi \,dV\end{aligned}}$

Así pues, ahora utilizando la siguiente identidad de vector de divergencia

${\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})&=(\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}+\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\\\Rightarrow (\nabla \cdot \mathbf {A} ){B}&=\nabla \cdot (\mathbf {A} {B})-\mathbf {A} \cdot (\nabla {B})\end{aligned}}$

tenemos

$U={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \Phi )dV-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(\mathbf {\nabla } \Phi )\cdot \mathbf {E} dV$

utilizando el teorema de la divergencia y tomando el área en el infinito donde $\Phi (\infty )=0$ y utilizando $\nabla \Phi =-\mathbf {E}$

${\begin{aligned}U&=\overbrace {{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{{}_{\text{ of space}}^{\text{boundary}}}\Phi \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } ^{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{\text{all space}}(-\mathbf {E} )\cdot \mathbf {E} \,dV\\&=\int \limits _{\text{all space}}{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}\,dV.\end{aligned}}$

Entonces, la densidad de energía, o energía por unidad de volumen ${\textstyle {\frac {dU}{dV}}}$ del campo electrostático es:

$u_{e}={\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left|{\mathbf {E} }\right|^{2}.$

Energía almacenada en elementos electrónicos

Algunos elementos de un circuito pueden convertir la energía de una forma a otra. Por ejemplo, una resistencia convierte la energía eléctrica en calor. Esto se conoce como el efecto Joule . Un condensador la almacena en su campo eléctrico. La energía potencial electrostática total almacenada en un condensador viene dada por $U_{E}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {Q^{2}}{2C}}$ donde C es la capacitancia , V es la diferencia de potencial eléctrico y Q la carga almacenada en el condensador.

Esquema de la prueba

Se pueden acumular cargas en un condensador en incrementos infinitesimales, $dq\to 0$ , de modo que la cantidad de trabajo realizado para ensamblar cada incremento en su ubicación final se puede expresar como

$W_{q}=V\,dq={\frac {q}{C}}dq.$

El trabajo total realizado para cargar completamente el condensador de esta manera es entonces $W=\int dW=\int _{0}^{Q}V\,dq={\frac {1}{C}}\int _{0}^{Q}q\,dq={\frac {Q^{2}}{2C}}.$ dónde $Q$ es la carga total en el condensador. Este trabajo se almacena como energía potencial electrostática, por lo tanto, $W=U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}.$

Cabe destacar que esta expresión solo es válida si $dq\to 0$ , lo cual es válido para sistemas con muchas cargas, como grandes condensadores con electrodos metálicos. Para sistemas con pocas cargas, la naturaleza discreta de la carga es importante. La energía total almacenada en un condensador con pocas cargas es $U_{E}={\frac {Q^{2}}{2C}}$ que se obtiene mediante un método de ensamblaje de carga que utiliza el incremento de carga física más pequeño. $\Delta q=e$ dónde $e$ es la unidad elemental de carga y $Q=Ne$ dónde $N$ es el número total de cargas en el condensador.

La energía potencial electrostática total también puede expresarse en términos del campo eléctrico de la forma $U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} \,dV$

dónde $\mathrm {D}$ es el campo de desplazamiento eléctrico dentro de un material dieléctrico y la integración se realiza sobre todo el volumen del dieléctrico.

La energía potencial electrostática total almacenada dentro de un dieléctrico cargado también puede expresarse en términos de una carga de volumen continua, $\rho$ , $U_{E}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,dV$ donde la integración se realiza sobre todo el volumen del dieléctrico.

Notas

↑ El cero de referencia se suele tomar como un estado en el que las cargas puntuales individuales están muy bien separadas ("están a una separación infinita") y están en reposo.
↑ El factor de un medio explica el "doble conteo" de pares de cargas. Por ejemplo, consideremos el caso de solo dos cargas.

Referencias

↑ Electromagnetismo (2.ª edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
↑ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (1997). «Potencial eléctrico». Fundamentos de física (5.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-10559-7.

Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con la energía potencial eléctrica en Wikimedia Commons.

[1] El cero de referencia se suele tomar como un estado en el que las cargas puntuales individuales están muy bien separadas ("están a una separación infinita") y están en reposo.

[4] El factor de un medio explica el "doble conteo" de pares de cargas. Por ejemplo, consideremos el caso de solo dos cargas.

[2] Electromagnetismo (2.ª edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0

[HRW1997-3] Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl (1997). «Potencial eléctrico». Fundamentos de física (5.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-10559-7.

[ nota 1 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ nota 2 ]

Definición

Unidades

energía potencial electrostática de una carga puntual

Una carga puntual q en presencia de otra carga puntual Q

Una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q i

energía potencial electrostática almacenada en un sistema de cargas puntuales

Energía almacenada en un sistema de carga puntual

Energía almacenada en un sistema de dos cargas puntuales

Energía almacenada en un sistema de tres cargas puntuales

Energía almacenada en una distribución de campo electrostático en el vacío

Energía almacenada en elementos electrónicos

Notas

Referencias

Enlaces externos

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Una carga puntual q en presencia de n cargas puntuales Q _i