descomposición de Bel

En geometría semiriemanniana , la descomposición de Bel , tomada con respecto a una congruencia temporal específica , es una forma de descomponer el tensor de Riemann de una variedad pseudoriemanniana en tensores de orden inferior con propiedades similares a las del campo eléctrico y el campo magnético . Dicha descomposición fue descrita parcialmente por Alphonse Matte en 1953 ^{[ 1 ]} y por Lluis Bel en 1958 ^{[ 2 ].}

Esta descomposición es particularmente importante en la relatividad general . Este es el caso de las variedades lorentzianas de cuatro dimensiones , para las cuales solo existen tres partes con propiedades simples e interpretaciones físicas individuales.

En cuatro dimensiones, la descomposición de Bel del tensor de Riemann, con respecto a un campo vectorial unitario de tipo temporal.${\displaystyle {\vec {X}}}$, no necesariamente geodésica u ortogonal a la hipersuperficie, consta de tres piezas:

1. el tensor electrogravitacional${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • También conocido como tensor de marea . Puede interpretarse físicamente como la representación de las tensiones de marea en pequeñas partes de un objeto material (sobre las que también pueden actuar otras fuerzas físicas), o las aceleraciones de marea de una pequeña nube de partículas de prueba en una solución de vacío o electrovacío .
2. el tensor magnetogravitacional${\displaystyle B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • Puede interpretarse físicamente como una especificación de posibles fuerzas de espín-espín en partes giratorias de materia, como partículas de prueba giratorias .
3. el tensor topogravítico${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • Puede interpretarse como la representación de las curvaturas seccionales para la parte espacial de un campo de marco.

Debido a que todos estos son transversales (es decir, proyectados sobre los elementos del hiperplano espacial ortogonales a nuestro campo vectorial unitario de tipo temporal), pueden representarse como operadores lineales sobre vectores tridimensionales o como matrices reales de tres por tres. Son respectivamente simétricos, sin traza y simétricos (6, 8, 6 componentes linealmente independientes, para un total de 20). Si escribimos estos operadores como E , B , L respectivamente, los invariantes principales del tensor de Riemann se obtienen de la siguiente manera:

• ${\displaystyle K_{1}/4}$es la traza de E ² + L ² - 2 B B ^T ,
• ${\displaystyle -K_{2}/8}$es la traza de B ( E - L ),
• ${\displaystyle K_{3}/8}$es el rastro de E L - B ² .