Elemento (teoría de categorías)

En teoría de categorías , el concepto de elemento , o punto , generaliza el concepto más habitual de elemento de un conjunto a un objeto de cualquier categoría . Esta idea permite a menudo reformular definiciones o propiedades de morfismos (como monomorfismo o producto ) dadas por una propiedad universal en términos más familiares, al establecer su relación con los elementos. Algunos teoremas muy generales, como el lema de Yoneda y el teorema de incrustación de Mitchell , son de gran utilidad para esto, ya que permiten trabajar en un contexto donde estas traducciones son válidas. Este enfoque de la teoría de categorías —en particular el uso del lema de Yoneda de esta manera— se debe a Grothendieck y a menudo se denomina método del functor de puntos .

Supongamos que C es una categoría cualquiera y que A y T son dos objetos de C. Un punto de A que toma valores en T es simplemente un morfismo p : T → A. El conjunto de todos los puntos de A que toman valores en T varía funtorialmente con T , dando  lugar al " functor de puntos " de A ; según el lema de Yoneda , esto determina completamente que A es un objeto de C.

Muchas propiedades de los morfismos pueden reformularse en términos de puntos. Por ejemplo, se dice que una aplicación f es un monomorfismo si

Para todos los mapas g , h , si f ∘ g = f ∘ h entonces g = h .

Supongamos que f  : B → C y g , h  : A → B en C . Entonces g y h son puntos de B con valores en A , y por lo tanto el monomorfismo es equivalente a la afirmación más familiar

f es un monomorfismo si es una función inyectiva en puntos de B.

Es necesario tener cierto cuidado. f es un epimorfismo si se cumple la condición dual :

Para todos los mapas g , h (de algún tipo adecuado), g ∘ f = h ∘ f implica g = h .

En teoría de conjuntos, el término "epimorfismo" es sinónimo de " sobreyección ", es decir

Cada punto de C es la imagen , bajo f , de algún punto de B.

Esto claramente no es la traducción de la primera afirmación al lenguaje de los puntos, y de hecho, estas afirmaciones no son equivalentes en general. Sin embargo, en algunos contextos, como en las categorías abelianas , el "monomorfismo" y el "epimorfismo" cuentan con condiciones suficientemente fuertes que permiten tal reinterpretación en términos de puntos.

De manera similar, las construcciones categóricas como el producto tienen análogos puntuales. Recordemos que si A y B son dos objetos de C , su producto A × B es un objeto tal que

Existen aplicaciones p  : A × B → A , q  : A × B → B , y para cualquier T y aplicaciones f  : T → A , g  : T → B , existe una única aplicación h  : T → A × B tal que f = p ∘ h y g = q ∘ h .

En esta definición, f y g son puntos con valores T de A y B , respectivamente, mientras que h es un punto con valores T de A × B. Por lo tanto, una definición alternativa del producto es:

A × B es un objeto de C , junto con las proyecciones p  : A × B → A y q  : A × B → B , de tal manera que p y q proporcionan una biyección entre puntos de A × B y pares de puntos de A y B .

Esta es la definición más conocida del producto de dos conjuntos.

La terminología es de origen geométrico; en geometría algebraica , Grothendieck introdujo la noción de esquema para unificar el tema con la geometría aritmética , que trataba la misma idea de estudiar soluciones a ecuaciones polinómicas (es decir, variedades algebraicas ), pero donde las soluciones no son números complejos , sino números racionales , enteros o incluso elementos de algún cuerpo finito . Un esquema es, entonces, precisamente eso: un esquema para reunir todas las manifestaciones de una variedad definida por las mismas ecuaciones, pero con soluciones tomadas en diferentes conjuntos de números. Un esquema da una variedad compleja, cuyos puntos son sus puntos con valores en (Spec C ) , así como el conjunto de puntos con valores en (Spec Q ) (soluciones racionales a las ecuaciones), e incluso puntos con valores en (Spec F _p ) (soluciones módulo p ).

Una característica del lenguaje de puntos se evidencia en este ejemplo: en general, no basta con considerar solo puntos con valores en un único objeto. Por ejemplo, la ecuación x² + 1 = 0 (que define un esquema) no tiene soluciones reales , pero sí soluciones complejas, concretamente ± i . Además ^, tiene una solución módulo 2 y dos módulos 5, 13, 29, etc. (todos primos que son 1 módulo 4). Tomar solo las soluciones reales no aportaría ninguna información.

La situación es análoga al caso en que C es la categoría Set , de conjuntos de elementos reales. En este caso, tenemos el conjunto "unipuntual" {1} , y los elementos de cualquier conjunto S son los mismos que los puntos {1} de S. Además, existen los puntos {1, 2} , que son pares de elementos de S , o elementos de S × S. En el contexto de los conjuntos, estos puntos superiores son superfluos: S está completamente determinado por sus puntos {1} . Sin embargo, como se muestra arriba, esto es especial (en este caso, porque todos los conjuntos son coproductos iterados de {1} ).