Teoría elemental de las categorías abstractas

En matemáticas, la teoría elemental de categorías abstractas o ETAC de William Lawvere proporciona una construcción axiomática de la teoría de categorías y functores en lógica de primer orden .

Axiomas de ETAC, ^{[ 1 ]}

0. Para cualquier letra${\displaystyle x,y,u,A,B}$y símbolos de funciones unarias${\displaystyle \Delta _{0}}$y${\displaystyle \Delta _{1}}$y la ley de composición${\displaystyle \Gamma }$Las siguientes se definen como fórmulas:${\displaystyle \Delta _{0}(x)=A}$,${\displaystyle \Delta _{1}(x)=B}$,${\displaystyle \Gamma (x,y;u)}$, y${\displaystyle x=y}$; Estas fórmulas deben interpretarse, respectivamente, como “${\displaystyle A}$es el dominio de${\displaystyle x}$", “${\displaystyle B}$es el codominio, o rango, de${\displaystyle x}$", “${\displaystyle u}$es la composición${\displaystyle x}$seguido de${\displaystyle y}$", y "${\displaystyle x}$igual${\displaystyle y}$".

1. Si${\displaystyle \Phi }$y${\displaystyle \Psi }$son fórmulas, entonces “${\displaystyle [\Phi ]}$y${\displaystyle [\Psi ]}$”, “${\displaystyle [\Phi ]}$o${\displaystyle [\Psi ]}$”, “${\displaystyle [\Phi ]\Rightarrow [\Psi ]}$", y "${\displaystyle [not\Phi ]}$” también son fórmulas.

2. Si${\displaystyle \Phi }$es una fórmula y${\displaystyle x}$es una carta, entonces “${\displaystyle \forall x[\Phi ]}$”, “${\displaystyle \exists x[\Phi ]}$” también son fórmulas.

3. Una cadena de símbolos es una fórmula en ETAC si y solo si se deduce de los axiomas 0 a 2 anteriores.

Una oración se define entonces como cualquier fórmula en la que cada aparición de cada letra${\displaystyle x}$está dentro del alcance de un cuantificador, como por ejemplo${\displaystyle \forall x}$o${\displaystyle \exists x}$Los teoremas de ETAC se definen como todas aquellas oraciones que pueden derivarse mediante inferencia lógica a partir de los siguientes axiomas de ETAC:

4.${\displaystyle \Delta _{i}(\Delta _{j}(x))=\Delta _{j}(x)}$para${\displaystyle i,j=0,1}$.

5a.${\displaystyle \Gamma (x,y;u)}$y${\displaystyle \Gamma (x,y;u')}$${\displaystyle \Rightarrow u=u'}$.

5b.${\displaystyle \exists u[\Gamma (x,y;u)]\Rightarrow \Delta _{1}(x)=\Delta _{0}(y)}$.

5c.${\displaystyle \Gamma (x,y;u)\Rightarrow \Delta _{0}(u)=\Delta _{0}(x)}$y${\displaystyle \Delta _ {1}(u)=\Delta _ {1}(y)}$.

6. Axioma de identidad:${\displaystyle \Gamma (\Delta _{0}(x),x;x)}$y${\displaystyle \Gamma (x,\Delta _{1}(x);x)}$siempre dan el mismo resultado.

7. Axioma de asociatividad:${\displaystyle \Gamma (x,y;u)}$y${\displaystyle \Gamma (y,z;w)}$y${\displaystyle \Gamma (x,w;f)}$y${\displaystyle \Gamma (u,z;g)\Rightarrow f=g}$.

Teniendo en cuenta estos axiomas, se puede observar que los diagramas conmutativos pueden considerarse ahora como ciertas fórmulas abreviadas que corresponden a sistemas de ecuaciones tales como: ${\displaystyle \Delta _{0}(f)=\Delta _{0}(h)=A}$,${\displaystyle \Delta _{1}(f)=\Delta _{0}(g)=B}$,${\displaystyle \Delta _{1}(g)=\Delta _{1}(h)=C}$y${\displaystyle \Gamma (f,g;h)}$, en lugar de${\displaystyle g\circ f=h}$Las flechas f, g y h se trazan respectivamente entre los objetos A, B y C, formando así un diagrama conmutativo triangular en el sentido habitual de la teoría de categorías. En comparación con las fórmulas ETAC, estos diagramas ofrecen la ventaja de una representación geométrica e intuitiva de sus ecuaciones subyacentes equivalentes.

La propiedad común de A de ser un objeto se escribe de forma abreviada como la fórmula Obj(A) que representa las siguientes tres ecuaciones:

8a.${\displaystyle A=\Delta _ {0}(A)=\Delta _ {1}(A)}$,

8b.${\displaystyle \exists x[A=\Delta _{0}(x)]\exists y[A=\Delta _{1}(y)]}$,

8c.${\displaystyle \forall x\forall u[\Gamma (x,A;u)\Rightarrow x=u]}$y${\displaystyle \forall y\forall v[\Gamma (A,y;v)]\Rightarrow y=v}$.

Intuitivamente, con esta terminología y estos axiomas, una categoría se define como cualquier estructura que sea una interpretación directa de ETAC.

Un functor se entiende entonces como una tripleta que consta de dos de dichas categorías y de una regla F (`el functor`) que asigna a cada flecha o morfismo${\displaystyle x}$de la primera categoría, un morfismo único, escrito como `${\displaystyle F(x)}$' de la segunda categoría, de tal manera que se cumplan las dos condiciones habituales tanto para los objetos como para las flechas en la definición estándar del functor (véase, por ejemplo, []) – el functor se comporta bien, lleva identidades de objetos a identidades de objetos de imagen, y diagramas conmutativos a diagramas conmutativos de imagen de los objetos de imagen y morfismos de imagen correspondientes.

En el siguiente nivel, se definen las transformaciones naturales o morfismos funtoriales entre functores como fórmulas y ecuaciones abreviadas de metanivel relacionadas con diagramas conmutativos de las imágenes distintas de dos functores que actúan sobre objetos y morfismos. Como su nombre indica, las transformaciones naturales también se comportan adecuadamente en términos de las ecuaciones ETAC que satisfacen.

• Teoría elemental de la categoría de conjuntos

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• Lawvere, F. William (noviembre de 1963). "Semántica funcional de las teorías algebraicas" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 50 (5): 869– 872. doi : 10.1073/pnas.50.5.869 . PMC 221940. PMID 16591125 .  
  • Lawvere, F. William (2004). "Semántica functorial de teorías algebraicas y algunos problemas algebraicos en el contexto de la semántica functorial de teorías algebraicas" (PDF) . Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías . 5 : 1–121 .
• Lawvere, F. William (1966). «La categoría de categorías como fundamento de las matemáticas». Actas de la Conferencia sobre Álgebra Categórica (PDF) . págs. 1–20 . doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_1 . ISBN  978-3-642-99904-8– vía lawverearchives.com.

• https://ncatlab.org/nlab/show/ETCC
• Elaine Landry, Categorías para el filósofo en activo, https://pages.jh.edu/rrynasi1/FoundationsOFMath/Literature/PhilMath/Ernst2017CategoryTheory+Foundations.pdf