Colapso (topología)

En topología , una rama de las matemáticas, un colapso reduce un complejo simplicial (o, más generalmente, un complejo CW ) a un subcomplejo homotópicamente equivalente . Los colapsos, al igual que los complejos CW, fueron inventados por JHC Whitehead . ^{[ 1 ]} Los colapsos encuentran aplicaciones en la homología computacional . ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle K}$ser un complejo simplicial abstracto .

Supongamos que${\displaystyle \tau ,\sigma }$son dos simples de${\displaystyle K}$de modo que se cumplan las dos condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle \tau \subsetneq \sigma ,}$En particular${\displaystyle \dim \tau <\dim \sigma$ ;}
2. ${\displaystyle \sigma }$es una cara máxima de${\displaystyle K}$y ninguna otra cara máxima de${\displaystyle K}$contiene${\displaystyle \tau ,}$

entonces${\displaystyle \tau }$se denomina cara libre .

Un colapso simplicial de${\displaystyle K}$es la eliminación de todos los símplices${\displaystyle \gamma }$de tal manera que${\displaystyle \tau \subseteq \gamma \subseteq \sigma ,}$dónde${\displaystyle \tau }$es una cara libre. Si además tenemos${\displaystyle \dim \tau =\dim \sigma -1,}$Entonces, esto se denomina colapso elemental .

Un complejo simplicial que tiene una secuencia de colapsos que conducen a un punto se llama colapsable . Todo complejo colapsable es contraíble , pero lo contrario no es cierto.

Esta definición puede extenderse a los complejos CW y es la base del concepto de equivalencia de homotopía simple . ^{[ 3 ]}

• Los complejos que no tienen una cara libre no pueden colapsarse. Dos ejemplos interesantes son la casa de dos habitaciones de RH Bing y el gorro de burro de Christopher Zeeman ; son contraíbles (homotópicamente equivalentes a un punto), pero no colapsables.
• Cualquier variedad PL n -dimensional que sea colapsable es, de hecho, isomorfa linealmente por partes a una n -bola. ^{[ 1 ]}

• Teoría discreta de Morse : enfoque combinatorio para el estudio de la topología de una variedad. 
• Conchado (topología) – Concepto matemático