Equivalencia elemental

En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , dos estructuras M y N de la misma signatura σ se denominan elementalmente equivalentes si satisfacen las mismas σ- sentencias de primer orden .

Si N es una subestructura de M , a menudo se necesita una condición más fuerte. En este caso, N se llama una subestructura elemental de M si toda σ - fórmula de primer orden φ ( a ₁ ,  …, a _n ) con parámetros a ₁ , …, a _n de N es verdadera en N si y solo si es verdadera en M. Si N es una subestructura elemental de M , entonces M se llama una extensión elemental de N. Una incrustación h : N → M se llama una incrustación elemental de N en M si h ( N ) es una subestructura elemental de M.         

Una subestructura N de M es elemental si y solo si pasa la prueba de Tarski-Vaught : toda fórmula de primer orden φ ( x , b ₁ , …, b _n ) con parámetros en N que tiene una solución en M también tiene una solución en N cuando se evalúa en M. Se puede demostrar que dos estructuras son elementalmente equivalentes con los juegos de Ehrenfeucht-Fraïssé .     

Las incrustaciones elementales se utilizan en el estudio de cardinales grandes , incluyendo rango-en-rango .

Dos estructuras M y N de la misma signatura σ son elementalmente equivalentes si toda sentencia de primer orden (fórmula sin variables libres) sobre σ es verdadera en M si y solo si es verdadera en N , es decir, si M y N tienen la misma teoría completa de primer orden. Si M y N son elementalmente equivalentes, se escribe M ≡ N.    

Una teoría de primer orden es completa si y solo si cualesquiera dos de sus modelos son elementalmente equivalentes.

Por ejemplo, consideremos el lenguaje con un símbolo de relación binaria '<'. El modelo R de números reales con su orden usual y el modelo Q de números racionales con su orden usual son elementalmente equivalentes, ya que ambos interpretan '<' como un ordenamiento lineal denso no acotado . Esto es suficiente para garantizar la equivalencia elemental, porque la teoría de los ordenamientos lineales densos no acotados es completa, como se puede demostrar mediante la prueba de Łoś–Vaught .

En términos más generales, cualquier teoría de primer orden con un modelo infinito posee modelos elementalmente equivalentes no isomorfos, que pueden obtenerse mediante el teorema de Löwenheim-Skolem . Así, por ejemplo, existen modelos no estándar de la aritmética de Peano que contienen otros objetos además de los números 0, 1, 2, etc., y que, sin embargo, son elementalmente equivalentes al modelo estándar.

N es una subestructura elemental o un submodelo elemental de M si N y M son estructuras de la misma signatura σ tales que para todas las fórmulas σ de primer orden φ ( x ₁ , …, x _n ) con variables libres x ₁ , …, x _n , y todos los elementos a ₁ , …, a _n de N , φ ( a ₁ , …, a _n ) se cumple en N si y solo si se cumple en M :           $${\displaystyle N\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}){\text{ si y solo si }}M\models \varphi (a_{1},\dots ,a_{n}).}$$

Esta definición aparece por primera vez en Tarski, Vaught (1957). [ ^{1 ] De} ello se deduce que N es una subestructura de M.

Si N es una subestructura de M , entonces tanto N como M pueden interpretarse como estructuras en la signatura σ _N que consisten en σ junto con un nuevo símbolo constante para cada elemento de N. Entonces N es una subestructura elemental de M si y solo si N es una subestructura de M y N y M son elementalmente equivalentes como σ _N -estructuras. 

Si N es una subestructura elemental de M , se escribe N${\displaystyle \preceq }$M y dice que M es una extensión elemental de N : M${\displaystyle \succeq }$N.​

El teorema de Löwenheim-Skolem descendente proporciona una subestructura elemental numerable para cualquier estructura infinita de primer orden con signatura a lo sumo numerable; el teorema de Löwenheim-Skolem ascendente proporciona extensiones elementales de cualquier estructura infinita de primer orden de cardinalidad arbitrariamente grande.

La prueba de Tarski-Vaught (o criterio de Tarski-Vaught ) es una condición necesaria y suficiente para que una subestructura N de una estructura M sea una subestructura elemental. Puede ser útil para construir una subestructura elemental de una estructura grande.

Sea M una estructura de signatura σ y N una subestructura de M. Entonces N es una subestructura elemental de M si y solo si para toda fórmula de primer orden φ ( x , y ₁ , …, y _n ) sobre σ y todos los elementos b ₁ , …, b _n de N , si M     ${\displaystyle \models }$${\displaystyle \exists }$x φ ( x , b ₁ , …, b _n ), entonces existe un elemento a en N tal que M    ${\displaystyle \models }$φ ( a , segundo ₁ , …, segundo _norte ). ^{[ 2 ]}   

Una incrustación elemental de una estructura N en una estructura M de la misma signatura σ es una aplicación h : N → M tal que para cada fórmula σ de primer orden φ ( x ₁ , …, x _n ) y todos los elementos a ₁ , …, a _n de N ,        

norte${\displaystyle \models }$φ ( a ₁ ,  …, a _n ) si y solo si M ${\displaystyle \models }$φ ( h ( a ₁ ),  …, h ( a _n )). 

Cada incrustación elemental es un homomorfismo fuerte , e induce un isomorfismo entre N y una subestructura elemental de M.

Las incrustaciones elementales son los mapas más importantes en la teoría de modelos. En la teoría de conjuntos , las incrustaciones elementales cuyo dominio es V (el universo de la teoría de conjuntos) juegan un papel importante en la teoría de cardinales grandes (véase también Punto crítico ).

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Teoría de modelos , Estudios en lógica y fundamentos de las matemáticas (3.ª  ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3.
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6.
• Monk, J. Donald (1976), Lógica matemática , Textos de posgrado en matemáticas, Nueva York • Heidelberg • Berlín: Springer Verlag, ISBN 0-387-90170-1