Curvas trinomiales de Elkies

En teoría de números , las curvas trinomiales de Elkies son ciertas curvas hiperelípticas construidas por Noam Elkies que tienen la propiedad de que los puntos racionales en ellas corresponden a polinomios trinomiales que dan una extensión de Q con grupos de Galois particulares .

Una curva, C ₁₆₈ , da el grupo de Galois PSL(2,7) a partir de un polinomio de grado siete, y la otra, C ₁₃₄₄ , da el grupo de Galois AL(8), el producto semidirecto de un grupo 2-elemental de orden ocho sobre el que actúa PSL(2, 7), dando un subgrupo de permutación transitivo del grupo simétrico en ocho raíces de orden 1344.

La ecuación de la curva C ₁₆₈ es

${\displaystyle y^{2}=x(81x^{5}+396x^{4}+738x^{3}+660x^{2}+269x+48).}$

La curva es un modelo ^de curva algebraica plana para una resolvente de Galois para la ecuación polinómica trinomial x² + bx + c = 0. Si existe un punto ( x , y ) en la curva (proyectivizada), existe un par correspondiente ( b , c ) de números racionales, tal que el trinomio se factoriza o tiene el grupo de Galois PSL(2,7), el grupo simple finito de orden 168. La curva tiene género dos, por lo que, según el teorema de Faltings, solo hay un número finito de puntos racionales en ella. Estos puntos racionales fueron probados por Nils Bruin usando el programa de computadora Kash como los únicos en C ₁₆₈ , y dan solo cuatro trinomios distintos con grupo de Galois PSL(2,7): x ⁷ − 7 x + 3 (el polinomio de Trinks), x ⁷ /11 − 14 x + 3 ² (el polinomio de Erbach-Fisher-McKay), y dos nuevos polinomios con grupo de Galois PSL(2,7),

${\displaystyle 37^{2}x^{7}-28x+3^{2}}$

y

${\displaystyle {\frac {499^{2}}{113}}x^{7}-212x+3^{4}}$.

Por otro lado, la ecuación de la curva C ₁₃₄₄ es

${\displaystyle y^{2}=2x^{6}+4x^{5}+36x^{4}+16x^{3}-45x^{2}+190x+1241.}$

^{Una vez más ,} el género es dos, y por el teorema de Faltings la lista de puntos racionales es finita. Se cree que los únicos puntos racionales en él corresponden a los polinomios ^{x⁸ + 16x + 28, x⁸} + 576x + 1008, 19⁴ 53x⁸ + 19x + 2 que tienen grupo de Galois AL ( ⁸ ) ^, y x⁸ + 324x + 567 , que proviene de dos puntos racionales diferentes y tiene nuevamente grupo de Galois PSL(2,7), esta vez como el grupo ^de Galois de un polinomio de grado ocho.

• Bruin, Nils; Elkies, Noam (2002). "Trinomios ax ⁷ + bx + c y ax ⁸ + bx + c con grupos de Galois de orden 168 y 8⋅168". Teoría algorítmica de números: 5.º Simposio Internacional, ANTS-V . Lecture Notes in Computer Science, vol. 2369, Springer-Verlag. pp. 172–188 . MR 2041082 .  

• Erbach, DW; Fisher, J.; McKay, J. (1979). "Polinomios con PSL(2,7) como grupo de Galois" . Journal of Number Theory . 11 (1): 69– 75. doi : 10.1016/0022-314X(79)90020-9 . MR 0527761 .