Suma de Gauss elíptica

En matemáticas, una suma de Gauss elíptica es un análogo de una suma de Gauss que depende de una curva elíptica con multiplicación compleja. El símbolo de residuo cuadrático en una suma de Gauss se reemplaza por un símbolo de residuo de orden superior, como un residuo cúbico o cuártico, y la función exponencial en una suma de Gauss se reemplaza por una función elíptica . Fueron introducidas por Eisenstein ( 1850 ) , al menos en el caso de la lemniscata cuando la curva elíptica tiene multiplicación compleja por i , pero parecen haber sido olvidadas o ignoradas hasta el artículo ( Pinch 1988 ) . 

( Lemmermeyer 2000 , 9.3) da el siguiente ejemplo de una suma de Gauss elíptica, para el caso de una curva elíptica con multiplicación compleja por i .

${\displaystyle -\sum _{t}\chi (t)\varphi \left({\frac {t}{\pi }}\right)^{\frac {p-1}{m}}}$

dónde

• La suma se realiza sobre los residuos módulo P cuyos representantes son enteros gaussianos.
• n es un número entero positivo.
• m es un entero positivo que divide a 4n
• p = 4n + 1 es un número primo racional congruente con 1 mod 4.
• φ ( z ) = sl((1 – i ) ωz ) donde sl es la función lemniscata seno , una función elíptica.
• χ es el símbolo del residuo de potencia m en K con respecto al primo P de K.
• K es el campo k [ ζ ]
• k es el campo${\displaystyle \mathbb {Q} [i]}$
• ζ es una raíz primitiva 4 n de 1
• π es un número primo primario en los enteros gaussianos.${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$con norma p
• P es un número primo en el anillo de enteros de K que se encuentra por encima de π con grado de inercia 1.

• Asai, Tetsuya (2007), "Sumas de Gauss elípticas y valores L de Hecke en s  =  1", Actas del Simposio sobre Teoría Algebraica de Números y Temas Relacionados , RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B4, Res. Inst. Math. Sci. (RIMS), Kioto, pp. 79–121 , arXiv : 0707.3711 , Bibcode : 2007arXiv0707.3711A , MR 2402004  
• Cassou-Noguès, Ph.; Taylor, MJ (1991), "Un élément de Stickelberger quadratique", Journal of Number Theory , 37 (3): 307– 342, doi : 10.1016/S0022-314X(05)80046-0 , ISSN 0022-314X , MR 1096447  
• Eisenstein, Gotthold (1850), "Über einige allgemeine Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Teilung der ganzen Lemniskate abhängt, nebst Anwendungen derselben auf die Zahlentheorie" (PDF) , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1850 (39): 224– 287, doi : 10.1515/crll.1850.39.224 , ISSN 0075-4102 , S2CID 123157985 , reimpreso en Math. Obra II, 556–619  
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad , Monografías de Springer en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9, MR 1761696 
• Pinch, R. (1988), "Estructura de módulo de Galois de funciones elípticas" , en Stephens, Nelson M.; Thorne, MP (eds.), Computers in mathematical research (Cardiff, 1986) , Inst. Math. Appl. Conf. Ser. New Ser., vol.  14, Oxford University Press , pp. 69–91 , ISBN  978-0-19-853620-8, MR 0960495