Funciones racionales elípticas

• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)\leq 1}$para${\displaystyle |x|\leq 1\,}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)=1}$en${\displaystyle |x|=1\,}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,-x)=R_{n}^{2}(\xi ,x)}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)>1}$para${\displaystyle x>1\,}$
• La pendiente en x=1 es lo más grande posible.
• La pendiente en x=1 es mayor que la pendiente correspondiente del polinomio de Chebyshev del mismo orden.

La única función racional que satisface las propiedades anteriores es la función racional elíptica ( Lutovac, Tošić y Evans 2001 , § 13.2) . Se derivan las siguientes propiedades:

La función racional elíptica se normaliza a la unidad en x=1:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1\,}$

La propiedad de anidamiento se escribe:

${\displaystyle R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)\,}$

Esta es una propiedad muy importante:

• Si${\displaystyle R_{n}}$es conocido para todos los primos n , entonces la propiedad de anidamiento da${\displaystyle R_{n}}$para todo n . En particular, dado que${\displaystyle R_{2}}$y${\displaystyle R_{3}}$se puede expresar en forma cerrada sin el uso explícito de las funciones elípticas de Jacobi, entonces todo${\displaystyle R_{n}}$para n de la forma${\displaystyle n=2^{a}3^{b}}$puede expresarse así.
• De ello se deduce que si los ceros de${\displaystyle R_{n}}$para los primos n son conocidos, los ceros de todos${\displaystyle R_{n}}$Se pueden encontrar. Utilizando la relación de inversión (ver más abajo), también se pueden encontrar los polos.
• La propiedad de anidamiento implica la propiedad de anidamiento del factor de discriminación:

${\displaystyle L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n}(\xi ))}$

Las funciones racionales elípticas están relacionadas con los polinomios de Chebyshev de primera especie.${\displaystyle T_{n}(x)}$por:

${\displaystyle \lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)\,}$

${\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)\,}$para n pares

${\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,}$para n impar

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$tiene igual ondulación de${\displaystyle \pm 1}$en el intervalo${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$. Por la relación de inversión (véase más abajo), se deduce que${\displaystyle 1/R_{n}(\xi ,x)}$tiene ondulación uniforme en${\displaystyle -1/\xi \leq x\leq 1/\xi }$de${\displaystyle \pm 1/L_{n}(\xi )}$.

Se cumple la siguiente relación de inversión:

${\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}\,}$

Esto implica que los polos y los ceros vienen en pares, de tal manera que

${\displaystyle x_{pi}x_{zi}=\xi \,}$

Las funciones de orden impar tendrán un cero en x=0 y un polo correspondiente en el infinito.

Los ceros de la función racional elíptica de orden n se escribirán${\displaystyle x_{ni}(\xi )}$o${\displaystyle x_{ni}}$cuando${\displaystyle \xi }$Se conoce implícitamente. Los ceros de la función racional elíptica serán los ceros del polinomio en el numerador de la función.

La siguiente derivación de los ceros de la función racional elíptica es análoga a la de determinar los ceros de los polinomios de Chebyshev ( Lutovac, Tošić y Evans 2001 , § 12.6) . Utilizando el hecho de que para cualquier z

${\displaystyle \mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,}$

La ecuación definitoria para las funciones racionales elípticas implica que

${\displaystyle n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n})}$

de modo que los ceros vienen dados por

${\displaystyle x_{m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n}},{\frac {1}{\xi }}\right).}$

Utilizando la relación de inversión, se pueden calcular los polos.

De la propiedad de anidamiento, si los ceros de${\displaystyle R_{m}}$y${\displaystyle R_{n}}$se puede expresar algebraicamente (es decir, sin necesidad de calcular las funciones de la elipse de Jacobi) entonces los ceros de${\displaystyle R_{m\cdot n}}$pueden expresarse algebraicamente. En particular, los ceros de las funciones racionales elípticas de orden${\displaystyle 2^{i}3^{j}}$puede expresarse algebraicamente ( Lutovac, Tošić y Evans 2001 , § 12.9, 13.9) . Por ejemplo, podemos encontrar los ceros de${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$De la siguiente manera: Definir

${\displaystyle X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt {1-1/L_{n}^{2}}}.}$

Luego, a partir de la propiedad de anidamiento y sabiendo que

${\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}$

dónde${\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}}$tenemos:

${\displaystyle L_{2}={\frac {1+t}{1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4}}{1-t_{4}}}}$

${\displaystyle X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.}$

Estas últimas tres ecuaciones pueden invertirse:

${\displaystyle x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_{4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad }$

Para calcular los ceros de${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$nosotros establecimos${\displaystyle X_{8}=0}$En la tercera ecuación, calcule los dos valores de${\displaystyle X_{4}}$, luego use estos valores de${\displaystyle X_{4}}$en la segunda ecuación para calcular cuatro valores de${\displaystyle X_{2}}$y finalmente, utilice estos valores en la primera ecuación para calcular los ocho ceros de${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$. (El${\displaystyle t_{n}}$se calculan mediante una recursión similar.) Nuevamente, utilizando la relación de inversión, estos ceros se pueden usar para calcular los polos.