operador hipoelíptico

En la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , un operador diferencial parcial${\displaystyle P}$definido en un subconjunto abierto

${\displaystyle U\subset {\mathbb {R} }^{n}}$

Se denomina hipoelíptica si para cada distribución${\displaystyle u}$definido en un subconjunto abierto ${\displaystyle V\subset U}$de tal manera que${\displaystyle Pu}$es${\displaystyle C^{\infty }}$( liso ),${\displaystyle u}$También debe ser${\displaystyle C^{\infty }}$.

Si esta afirmación se cumple con${\displaystyle C^{\infty }}$reemplazado por real-analítico, entonces${\displaystyle P}$Se dice que es analíticamente hipoelíptico .

Cada operador elíptico con${\displaystyle C^{\infty }}$Los coeficientes son hipoelípticos. En particular, el laplaciano es un ejemplo de operador hipoelíptico (el laplaciano también es analíticamente hipoelíptico). Además, el operador para la ecuación del calor (${\displaystyle P(u)=u_{t}-k\,\Delta u\,}$)

${\displaystyle P=\partial _{t}-k\,\Delta _{x}\,}$

(dónde${\displaystyle k>0}$) es hipoelíptica pero no elíptica. Sin embargo, el operador para la ecuación de onda (${\displaystyle P(u)=u_{tt}-c^{2}\,\Delta u\,}$)

${\displaystyle P=\partial _{t}^{2}-c^{2}\,\Delta _{x}\,}$

(dónde${\displaystyle c\neq 0}$) no es hipoelíptico.

• Shimakura, Norio (1992). Operadores diferenciales parciales de tipo elíptico: traducido por Norio Shimakura . American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-4556-X.
• Egorov, Yu. V.; Schulze, Bert-Wolfgang (1997). Operadores pseudodiferenciales, singularidades, aplicaciones . Birkhäuser. ISBN 3-7643-5484-4.
• Vladimirov, VS (2002). Métodos de la teoría de funciones generalizadas . Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0.
• Folland, GB (2009). Análisis de Fourier y sus aplicaciones . AMS. ISBN 978-0-8218-4790-9.

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