Lema de Ellis-Numakura

En matemáticas , el lema de Ellis-Numakura establece que si S es un semigrupo no vacío con una topología tal que S es un espacio compacto y el producto es semicontinuo, entonces S tiene un elemento idempotente p (es decir, con pp  = p ). El lema recibe su nombre de Robert Ellis y Katsui Numakura. 

Los semigrupos topológicos compactos que aparecen en este lema deben distinguirse de los semigrupos compactos , en los que "compacto" no se usa con su significado topológico.

Aplicando este lema a la compactificación de Stone-Čech βN de los números naturales se demuestra que existen elementos idempotentes en βN . El producto en βN no es continuo, sino semicontinuo (por la derecha o por la izquierda, según la construcción preferida, pero nunca por ambas).

• Por compacidad y el lema de Zorn , existe un subsemigrupo compacto no vacío minimal de S , por lo que al reemplazar S por este subsemigrupo podemos asumir que S es minimal.
• Elija p en S. El conjunto Sp es un subsemigrupo compacto no vacío, por lo que por minimalidad es S y en particular contiene p , por lo que el conjunto de elementos q con qp  = p no es vacío. 
• El conjunto de todos los elementos q con qp  = p es un semigrupo compacto y no es vacío por el paso anterior, por lo que por minimalidad es todo S y por lo tanto contiene p . Entonces pp = p .   

• Argyros, Spiros; Todorcevic, Stevo (2005), Métodos de Ramsey en análisis , Birkhauser, pág.  212, ISBN 3-7643-7264-8
• Ellis, Robert (1958), "Grupos de transformación distal." , Pacific J. Math. , 8 (3): 401– 405, doi : 10.2140/pjm.1958.8.401 , MR 0101283 
• Numakura, Katsui (1952), "Sobre semigrupos bicompactos." , Math. J. Okayama University. , 1 : 99–108 , MR 0048467 

• Conferencia 5 de T. Tao