Conjunto vacío

Al hablar de la suma de los elementos de un conjunto finito, inevitablemente se recurre a la convención de que la suma de los elementos del conjunto vacío (la suma vacía ) es cero. Esto se debe a que el cero es el elemento neutro de la suma. De manera similar, el producto de los elementos del conjunto vacío (el producto vacío ) debe considerarse igual a uno , ya que uno es el elemento neutro de la multiplicación. ^{[ 6 ]}

Un desorden es una permutación de un conjunto sin puntos fijos . El conjunto vacío puede considerarse un desorden de sí mismo, porque tiene solo una permutación (${\displaystyle 0!=1}$), y es una verdad trivial que no se puede encontrar ningún elemento (del conjunto vacío) que conserve su posición original.

Dado que el conjunto vacío no tiene ningún miembro cuando se considera como un subconjunto de cualquier conjunto ordenado , cada miembro de ese conjunto será un límite superior y un límite inferior para el conjunto vacío. Por ejemplo, cuando se considera como un subconjunto de los números reales, con su ordenación usual, representado por la recta numérica real , cada número real es tanto un límite superior como un límite inferior para el conjunto vacío. ^{[ 7 ]} Cuando se considera como un subconjunto de los reales extendidos formados al agregar dos "números" o "puntos" a los números reales (a saber, menos infinito , denotado${\displaystyle -\infty \!\,,}$que se define como menor que cualquier otro número real extendido, e infinito positivo , denotado${\displaystyle +\infty \!\,,}$que se define como mayor que cualquier otro número real extendido), tenemos que: $${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$ y $${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

Es decir, el límite superior mínimo (sup o supremo ) del conjunto vacío es infinito negativo, mientras que el límite inferior máximo (inf o ínfimo ) es infinito positivo. Por analogía con lo anterior, en el dominio de los números reales extendidos, infinito negativo es el elemento neutro para los operadores máximo y supremo, mientras que infinito positivo es el elemento neutro para los operadores mínimo e ínfimo.

En cualquier espacio topológico${\displaystyle X}$, el conjunto vacío es abierto por definición, como lo es${\displaystyle X}$. Dado que el complemento de un conjunto abierto es cerrado y el conjunto vacío y${\displaystyle X}$Como son complementarios entre sí, el conjunto vacío también es cerrado, lo que lo convierte en un conjunto abierto y cerrado . Además, el conjunto vacío es compacto debido a que todo conjunto finito es compacto.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que tiene la topología indiscreta si los únicos conjuntos abiertos son${\displaystyle \varnothing }$ and the entire space.

The closure of the empty set is empty. This is known as "preservation of nullaryunions".^[8]

If ${\displaystyle A}$ is a set, then there exists precisely one function${\displaystyle f}$ from ${\displaystyle \varnothing }$ to ${\displaystyle A,}$ the empty function. As a result, the empty set is the unique initial object of the category of sets and functions.

The empty set can be turned into a topological space, called the empty space, in just one way: by defining the empty set to be open. This empty topological space is the unique initial object in the category of topological spaces with continuous maps. In fact, it is a strict initial object: only the empty set has a function to the empty set.

In the von Neumann construction of the ordinals, 0 is defined as the empty set, and the successor of an ordinal is defined as ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$. Thus, we have ${\displaystyle 0=\varnothing }$, ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$, ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$, and so on. The von Neumann construction, along with the axiom of infinity, which guarantees the existence of at least one infinite set, can be used to construct the set of natural numbers, ${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}}$, such that the Peano axioms of arithmetic are satisfied.

In the context of sets of real numbers, Cantor used ${\displaystyle P\equiv O}$ to denote "${\displaystyle P}$ contains no single point". This ${\displaystyle \equiv O}$ notation was utilized in definitions; for example, Cantor defined two sets as being disjoint if their intersection has an absence of points; however, it is debatable whether Cantor viewed ${\displaystyle O}$ as an existent set on its own, or if Cantor merely used ${\displaystyle \equiv O}$ as an emptiness predicate. Zermelo accepted ${\displaystyle O}$ itself as a set, but considered it an "improper set".^[9]

In Zermelo set theory, the existence of the empty set is assured by the axiom of empty set, and its uniqueness follows from the axiom of extensionality. However, the axiom of empty set can be shown redundant in at least two ways:

• Standard first-order logic implies, merely from the logical axioms, that something exists, and in the language of set theory, that thing must be a set. Now the existence of the empty set follows easily from the axiom of separation.
• Even using free logic (which does not logically imply that something exists), there is already an axiom implying the existence of at least one set, namely the axiom of infinity.

Si bien el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidad ontológica , cuyo significado y utilidad son objeto de debate entre filósofos y lógicos.

El conjunto vacío no es lo mismo que la nada ; más bien, es un conjunto sin nada dentro , y un conjunto siempre es algo . Este problema se puede superar considerando un conjunto como una bolsa: sin duda, una bolsa vacía sigue existiendo. Darling (2004) explica que el conjunto vacío no es la nada, sino más bien «el conjunto de todos los triángulos de cuatro lados, el conjunto de todos los números mayores que nueve pero menores que ocho, y el conjunto de todas las aperturas de ajedrez que involucran a un rey ». ^{[ 10 ]}

El silogismo popular

Nada es mejor que la felicidad eterna; un sándwich de jamón es mejor que nada; por lo tanto, un sándwich de jamón es mejor que la felicidad eterna.

Se utiliza a menudo para demostrar la relación filosófica entre el concepto de nada y el conjunto vacío. Darling escribe que el contraste se puede ver reescribiendo las afirmaciones "Nada es mejor que la felicidad eterna" y "[Un] sándwich de jamón es mejor que nada" en un tono matemático. Según Darling, la primera es equivalente a "El conjunto de todas las cosas que son mejores que la felicidad eterna es${\displaystyle \varnothing }$" y este último a "El conjunto {sándwich de jamón} es mejor que el conjunto${\displaystyle \varnothing }$"El primero compara elementos de conjuntos, mientras que el segundo compara los conjuntos mismos. ^{[ 10 ]}

Jonathan Lowe argumenta que, si bien el conjunto vacío

Sin duda fue un hito importante en la historia de las matemáticas,  … no debemos suponer que su utilidad en el cálculo depende de que realmente denote algún objeto.

También es cierto que:

"Lo único que sabemos del conjunto vacío es que (1) es un conjunto, (2) no tiene miembros y (3) es único entre los conjuntos por no tener miembros. Sin embargo, hay muchísimas cosas que 'no tienen miembros', en el sentido de la teoría de conjuntos ; es decir, todos los no conjuntos. Es perfectamente claro por qué estas cosas no tienen miembros, ya que no son conjuntos. Lo que no está claro es cómo puede existir, de forma única entre los conjuntos, un conjunto que no tenga miembros. No podemos crear tal entidad mediante una mera estipulación." ^{[ 11 ]}

George Boolos argumentó que gran parte de lo que se ha obtenido hasta ahora mediante la teoría de conjuntos puede obtenerse igualmente bien mediante la cuantificación plural sobre individuos, sin reificar los conjuntos como entidades singulares que tienen otras entidades como miembros. ^{[ 12 ]}