Endomorfismo

En álgebra abstracta , un endomorfismo es un homomorfismo de un objeto matemático a sí mismo. ^{[ 1 ]} De forma más general, en teoría de categorías , un endomorfismo es un morfismo de un objeto en alguna categoría a sí mismo. ^{[ 2 ]} Un endomorfismo que también es un isomorfismo es un automorfismo . Por ejemplo, un endomorfismo de un espacio vectorial V es una aplicación lineal f: V → V, y un endomorfismo de un grupo G es un homomorfismo de grupos f: G → G.

En general, podemos hablar de endomorfismos en cualquier categoría . En la categoría de conjuntos , los endomorfismos son funciones de un conjunto S en sí mismo.

En cualquier categoría, la composición de cualesquiera dos endomorfismos de X es de nuevo un endomorfismo de X. De ello se deduce que el conjunto de todos los endomorfismos de X forma un monoide , el monoide de transformación completa , y se denota End( X ) (o End _C ( X ) para enfatizar la categoría C ).

Un endomorfismo invertible de X se denomina automorfismo . El conjunto de todos los automorfismos es un subconjunto de End( X ) con una estructura de grupo , llamado grupo de automorfismos de X y denotado por Aut( X ) . En el siguiente diagrama, las flechas indican implicación:

Cualquier par de endomorfismos de un grupo abeliano A se pueden sumar mediante la regla ( f + g )( a ) = f ( a ) + g ( a ) . Bajo esta suma, y ​​definiendo la multiplicación como composición de funciones, los endomorfismos de un grupo abeliano forman un anillo (el anillo de endomorfismos ). Por ejemplo, el conjunto de endomorfismos de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$es el anillo de todas las matrices n × n con entradas enteras . Los endomorfismos de un espacio vectorial o módulo también forman un anillo, al igual que los endomorfismos de cualquier objeto en una categoría preaditiva . Los endomorfismos de un grupo no abeliano generan una estructura algebraica conocida como casi-anillo . Todo anillo con uno es el anillo de endomorfismos de su módulo regular , y por lo tanto es un subanillo de un anillo de endomorfismos de un grupo abeliano; ^{[ 3 ]} sin embargo, hay anillos que no son el anillo de endomorfismos de ningún grupo abeliano.

En cualquier categoría concreta , especialmente en el caso de los espacios vectoriales , los endomorfismos son aplicaciones de un conjunto en sí mismo, y pueden interpretarse como operadores unarios sobre ese conjunto, que actúan sobre los elementos y permiten definir la noción de órbitas de elementos, etc.

Dependiendo de la estructura adicional definida para la categoría en cuestión ( topología , métrica , etc.), dichos operadores pueden tener propiedades como continuidad , acotación , etc. Para más detalles, consulte el artículo sobre teoría de operadores .

Una endofunción es una función cuyo dominio es igual a su codominio . Una endofunción homomórfica es un endomorfismo.

Sea S un conjunto arbitrario. Entre las endofunciones de S se encuentran permutaciones de S y funciones constantes que asocian a cada x en S el mismo elemento c en S. Toda permutación de S tiene como codominio su dominio y es biyectiva e invertible. Si S tiene más de un elemento, una función constante en S tiene una imagen que es un subconjunto propio de su codominio y, por lo tanto, no es biyectiva (y, por consiguiente, no es invertible). La función que asocia a cada número natural n el piso de n /2 tiene como imagen su codominio y no es invertible.

Las endofunciones finitas son equivalentes a los pseudobosques dirigidos . Para conjuntos de tamaño n hay n ⁿ endofunciones en el conjunto.

Ejemplos particulares de endofunciones biyectivas son las involuciones ; es decir, las funciones que coinciden con sus inversas.

• endomorfismo adjunto
• Epimorfismo (homomorfismo sobreyectivo)
• endomorfismo de Frobenius
• Monomorfismo (homomorfismo inyectivo)

• "Endomorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]