dimensión de Minkowski-Bouligand

En geometría fractal , la dimensión de Minkowski-Bouligand , también conocida como dimensión de Minkowski o dimensión de conteo de cajas , es una forma de determinar la dimensión fractal de un conjunto acotado.${\textstyle S}$en un espacio euclidiano${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$, o más generalmente en un espacio métrico${\textstyle (X,d)}$Recibe su nombre en honor al matemático polaco Hermann Minkowski y al matemático francés Georges Bouligand .

Para calcular esta dimensión para un fractal${\textstyle S}$Imagina este fractal sobre una cuadrícula con espacios uniformes y cuenta cuántas cajas se necesitan para cubrirlo . La dimensión de conteo de cajas se calcula observando cómo cambia este número al refinar la cuadrícula mediante la aplicación de un algoritmo de conteo de cajas .

Supongamos que${\textstyle N(\varepsilon )}$es el número de cajas de longitud de lado${\textstyle \varepsilon }$requerido para cubrir el conjunto. Entonces la dimensión de conteo de cajas se define como

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}=-\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(\varepsilon )}}.}$$

En términos generales, esto significa que la dimensión es el exponente.${\textstyle d}$de tal manera que${\textstyle N(\varepsilon )\approx C\varepsilon ^{-d}}$, que es lo que cabría esperar en el caso trivial donde${\textstyle S}$es un espacio liso (una variedad ) de dimensión entera${\textstyle d}$.

Si el límite anterior no existe, se puede tomar el límite superior y el límite inferior , que definen respectivamente la dimensión superior de la caja y la dimensión inferior de la caja . La dimensión superior de la caja a veces se denomina dimensión de entropía , dimensión de Kolmogorov , capacidad de Kolmogorov , capacidad límite o dimensión superior de Minkowski , mientras que la dimensión inferior de la caja también se denomina dimensión inferior de Minkowski .

Las dimensiones superior e inferior de la caja están estrechamente relacionadas con la dimensión de Hausdorff, más conocida . Solo en aplicaciones muy específicas es importante distinguir entre las tres (véase más abajo ). Otra medida de la dimensión fractal es la dimensión de correlación .

Es posible definir las dimensiones de la caja usando bolas, ya sea con el número de cubierta o el número de embalaje. El número de cubierta${\textstyle N_{\text{covering}}(\varepsilon )}$es el número mínimo de bolas abiertas de radio${\textstyle \varepsilon }$requerido para cubrir el fractal, o dicho de otro modo, de modo que su unión contenga el fractal. También podemos considerar el número de cobertura intrínseco.${\textstyle N'_{\text{covering}}(\varepsilon )}$, que se define de la misma manera pero con el requisito adicional de que los centros de las bolas abiertas se encuentren en el conjunto S. El número de empaquetamiento${\textstyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )}$es el número máximo de bolas abiertas disjuntas de radio${\textstyle \varepsilon }$uno puede situarse de tal manera que sus centros estén en el fractal. Mientras${\textstyle N}$,${\textstyle N_{\text{covering}}}$,${\textstyle N'_{\text{covering}}}$y${\textstyle N_{\text{packing}}}$No son exactamente idénticas, pero están estrechamente relacionadas entre sí y dan lugar a definiciones idénticas de las dimensiones superior e inferior de la caja. Esto se demuestra fácilmente una vez probadas las siguientes desigualdades:

$${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{packing}}(\varepsilon /4).}$$

Estas, a su vez, se derivan, ya sea por definición o con poco esfuerzo, de la desigualdad triangular .

La ventaja de usar esferas en lugar de cuadrados radica en que esta definición se generaliza a cualquier espacio métrico . En otras palabras, la definición de caja es extrínseca : se asume que el espacio fractal S está contenido en un espacio euclidiano y se definen las cajas según la geometría externa del espacio contenedor. Sin embargo, la dimensión de S debe ser intrínseca , independiente del entorno en el que se ubica, y la definición de esfera puede formularse intrínsecamente. Se define una esfera interna como todos los puntos de S dentro de una cierta distancia de un centro elegido, y se cuentan dichas esferas para obtener la dimensión. (Más precisamente, la definición _{de recubrimiento} N es extrínseca, pero las otras dos son intrínsecas).

La ventaja de usar cajas es que en muchos casos N ( ε ) se puede calcular fácilmente de forma explícita, y que para las cajas los números de cobertura y embalaje (definidos de forma equivalente) son iguales.

El logaritmo de los números de empaquetamiento y recubrimiento a veces se denomina número de entropía y es algo análogo a los conceptos de entropía termodinámica y entropía de la teoría de la información , en el sentido de que miden la cantidad de "desorden" en el espacio métrico o fractal a escala ε y también miden cuántos bits o dígitos se necesitarían para especificar un punto del espacio con una precisión ε .

Otra definición equivalente (extrínseca) para la dimensión de conteo de cajas viene dada por la fórmula

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},}$$

donde para cada r  >  0, el conjunto${\textstyle S_{r}}$se define como el r -vecindario de S , es decir, el conjunto de todos los puntos en${\textstyle R^{n}}$que se encuentran a una distancia menor que r de S (o equivalentemente,${\textstyle S_{r}}$es la unión de todas las bolas abiertas de radio r que tienen un centro que pertenece a S ). 

La dimensión de la caja superior es finitamente estable, es decir, si { A ₁ , ..., A _n } es una colección finita de conjuntos, entonces

$${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim _{\text{upper box}}(A_{1}),\dots ,\dim _{\text{upper box}}(A_{n})\}.}$$

Sin embargo, no es numerablemente estable; es decir, esta igualdad no se cumple para una secuencia infinita de conjuntos. Por ejemplo, la dimensión de caja de un solo punto es 0, pero la dimensión de caja del conjunto de números racionales en el intervalo [0,  1] es  1. La dimensión de Hausdorff , en comparación, es numerablemente estable. La dimensión de caja inferior, por otro lado, ni siquiera es finitamente estable.

Una propiedad interesante de la dimensión de la caja superior que no comparten ni la dimensión de la caja inferior ni la dimensión de Hausdorff es su conexión con la suma de conjuntos. Si A y B son dos conjuntos en un espacio euclidiano, entonces A + B se forma tomando todos los pares de puntos a , b donde a es de A y b es de B y sumando a + b . Uno tiene   

$${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).}$$

La dimensión de conteo de cajas es una de las definiciones de dimensión que se pueden aplicar a los fractales. Para muchos fractales bien comportados, todas estas dimensiones son iguales; en particular, coinciden siempre que el fractal satisface la condición de conjunto abierto (OSC). ^{[ 1 ]} Por ejemplo, la dimensión de Hausdorff , la dimensión de la caja inferior y la dimensión de la caja superior del conjunto de Cantor son todas iguales a log(2)/log(3). Sin embargo, las definiciones no son equivalentes.

Las dimensiones de la caja y la dimensión de Hausdorff están relacionadas por la desigualdad

$${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.}$$

En general, ambas desigualdades pueden ser estrictas . La dimensión de la caja superior puede ser mayor que la dimensión de la caja inferior si el fractal tiene un comportamiento diferente en diferentes escalas. Por ejemplo, examine el conjunto de números en el intervalo [0,  1] que satisfacen la condición.

Los dígitos en los "intervalos de posición impares", es decir, entre los dígitos 2 ^{2 n +1} y 2 ^{2 n +2}  −  1, no están restringidos y pueden tomar cualquier valor. Este fractal tiene una dimensión de caja superior de 2/3 y una dimensión de caja inferior de 1/3, un hecho que se puede verificar fácilmente calculando N ( ε ) para${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$y observando que sus valores se comportan de manera diferente para n par e impar.

Otro ejemplo: el conjunto de los números racionales.${\textstyle \mathbb {Q} }$, un conjunto contable con${\textstyle \dim _{\text{Haus}}=0}$, tiene${\textstyle \dim _{\text{box}}=1}$debido a su cierre,${\textstyle \mathbb {R} }$, tiene dimensión 1. De hecho,

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$$

Estos ejemplos muestran que agregar un conjunto numerable puede cambiar la dimensión de la caja, lo que demuestra una especie de inestabilidad de esta dimensión.

• Dimensión de correlación
• Dimensiones del embalaje
• Exponente de incertidumbre
• Conjetura de Weyl-Berry
• Lacunaridad

• Falconer, Kenneth (1990). Geometría fractal: fundamentos matemáticos y aplicaciones . Chichester: John Wiley. pp. 38–47 . ISBN  0-471-92287-0. Zbl 0689.28003 . 
• Weisstein, Eric W. "Dimensión Minkowski-Bouligand" . MundoMatemático .

• FrakOut!: una aplicación de código abierto para calcular la dimensión fractal de una forma utilizando el método de conteo de cajas (no coloca automáticamente las cajas).
• FracLac: guía de usuario en línea y software ImageJ y complemento de conteo de cajas FracLac; software gratuito de código abierto y fácil de usar para el análisis de imágenes digitales en biología.