Producto de Hadamard (matrices)

En matemáticas , el producto de Hadamard (también conocido como producto elemento a elemento , producto entrada a entrada ^{[ 1 ] : cap. 5} o producto de Schur ) ^{[ 2 ]} es una operación binaria que toma dos matrices de las mismas dimensiones y devuelve una matriz con los elementos correspondientes multiplicados. Esta operación puede considerarse una "multiplicación de matrices ingenua" y es diferente del producto de matrices . Se atribuye al matemático francés Jacques Hadamard o al matemático ruso Issai Schur , quienes le atribuyen su nombre .

El producto de Hadamard es asociativo y distributivo . A diferencia del producto matricial, también es conmutativo . ^{[ 3 ]}

Para dos matrices A y B de la misma dimensión m × n , el producto de Hadamard${\displaystyle A\odot B}$(a veces${\displaystyle A\circ B}$) ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} es una matriz de la misma dimensión que los operandos, con elementos dados por ^{[ 3 ]}

${\displaystyle (A\odot B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}$

Para matrices de diferentes dimensiones ( m × n y p × q , donde m ≠ p o n ≠ q ), el producto de Hadamard no está definido.

Un ejemplo del producto de Hadamard para dos matrices arbitrarias de 2  × 3: 

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&1\\0&8&-2\end{bmatrix}}\odot {\begin{bmatrix}3&1&4\\7&9&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 3&3\times 1&1\times 4\\0\times 7&8\times 9&-2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&3&4\\0&72&-10\end{bmatrix}}.}$

• El producto de Hadamard es conmutativo (cuando se trabaja con un anillo conmutativo), asociativo y distributivo respecto de la suma. Es decir, si A , B y C son matrices del mismo tamaño y k es un escalar:$${\displaystyle {\begin{aligned}A\odot B&=B\odot A,\\A\odot (B\odot C)&=(A\odot B)\odot C,\\A\odot (B+C)&=A\odot B+A\odot C,\\(kA)\odot B&=A\odot (kB)=k(A\odot B),\\A\odot 0&=0\odot A=0.\end{aligned}}}$$
• La matriz identidad bajo la multiplicación de Hadamard de dos matrices m × n es una matriz m × n donde todos los elementos son iguales a 1. Esto difiere de la matriz identidad bajo la multiplicación de matrices convencional, donde solo los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. Además, una matriz tiene inversa bajo la multiplicación de Hadamard si y solo si todos sus elementos son invertibles, o equivalentemente sobre un cuerpo, si y solo si ninguno de sus elementos es igual a cero. ^{[ 7 ]}
• Para vectores x e y y matrices diagonales correspondientes D _x y D _y con estos vectores como sus diagonales principales, se cumple la siguiente identidad: ^{[ 1 ] : 479}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}(A\odot B)\mathbf {y} =\operatorname {tr} \left({D}_{\mathbf {x} }^{*}A{D}_{\mathbf {y} }{B}^{\mathsf {T}}\right),}$$donde x ^* denota la transpuesta conjugada de x . En particular, usando vectores de unos, esto muestra que la suma de todos los elementos en el producto de Hadamard es la traza de ABT donde el superíndice T denota la transpuesta de la matriz ^, es decir,${\displaystyle \operatorname {tr} \left(AB^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {1} ^{\mathsf {T}}\left(A\odot B\right)\mathbf {1} }$. Un resultado relacionado para los cuadrados A y B es que las sumas de las filas de su producto de Hadamard son los elementos diagonales ^de ABT : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \sum _{i}(A\odot B)_{ij}=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)_{jj}=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)_{ii}.}$$Similarmente,$${\displaystyle (\mathbf {y} \mathbf {x} ^{*})\odot A=D_{\mathbf {y} }AD_{\mathbf {x} }^{*}.}$$Además, un producto matriz-vector de Hadamard se puede expresar como$${\displaystyle (A\odot B)\mathbf {y} =\operatorname {diag} (AD_{\mathbf {y} }B^{\mathsf {T}}),}$$dónde${\displaystyle \operatorname {diag} (M)}$es el vector formado a partir de las diagonales de la matriz M. Tomando${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {1} }$, esto implica que$${\displaystyle (A\odot B)\mathbf {1} =\operatorname {diag} (AB^{\mathsf {T}})}$$
• El producto de Hadamard es una submatriz principal del producto de Kronecker . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}
• El producto de Hadamard satisface la desigualdad de rango.$${\displaystyle \operatorname {rank} (A\odot B)\leq \operatorname {rank} (A)\operatorname {rank} (B).}$$
• Si A y B son matrices definidas positivas , entonces se cumple la siguiente desigualdad que involucra el producto de Hadamard: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(A\odot B)\geq \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}(AB),\quad k=1,\ldots ,n,}$$donde λ _i ( A ) es el i -ésimo autovalor más grande de A .
• Si D y E son matrices diagonales , entonces ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}D(A\odot B)E&=(DAE)\odot B=(DA)\odot (BE)\\&=(AE)\odot (DB)=A\odot (DBE).\end{aligned}}}$$
• El producto de Hadamard de dos vectores${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$es lo mismo que la multiplicación matricial de la matriz diagonal correspondiente de un vector por el otro vector:$${\displaystyle \mathbf {a} \odot \mathbf {b} =D_{\mathbf {a} }\mathbf {b} =D_{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$$
• El${\displaystyle \operatorname {diag} }$El operador que transforma un vector en una matriz diagonal puede expresarse utilizando el producto de Hadamard como$${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{T})\odot I,}$$dónde${\displaystyle \mathbf {1} }$es un vector constante con elementos${\displaystyle 1}$, y${\displaystyle I}$es la matriz identidad .

El producto de Hadamard obedece ciertas relaciones con otros operadores de producto matricial.

• Si${\displaystyle \otimes }$ es el producto de Kronecker , suponiendo${\displaystyle A}$tiene las mismas dimensiones que${\displaystyle C}$y${\displaystyle B}$como${\displaystyle D}$, entonces$${\displaystyle (A\otimes B)\odot (C\otimes D)=(A\odot C)\otimes (B\odot D).}$$

• Si${\displaystyle \bullet }$ es el producto de división facial , entonces ^{[ 14 ]}$${\displaystyle (A\bullet B)\odot (C\bullet D)=(A\odot C)\bullet (B\odot D).}$$

• Si${\displaystyle \ast }$es el producto de Khatri-Rao  por columnas , entonces$${\displaystyle (A\bullet B)(C\ast D)=(AC)\odot (BD).}$$

El producto de Hadamard de dos matrices semidefinidas positivas es semidefinido positivo. ^{[ 3 ] [ 8 ]} Esto se conoce como el teorema del producto de Schur, ^{[ 7 ]} en honor al matemático ruso Issai Schur . Para dos matrices semidefinidas positivas A y B , también se sabe que el determinante de su producto de Hadamard es mayor o igual que el producto de sus respectivos determinantes: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \det({A}\odot {B})\geq \det({A})\det({B}).}$$

También se observan otras operaciones de Hadamard en la literatura matemática, ^{[ 15 ]} a saber, laraíz de Hadamard yPotencia de Hadamard (que en efecto son lo mismo debido a los índices fraccionarios), definida para una matriz tal que:

Para $${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ 2}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{2}\end{aligned}}}$$

y para $${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ {\frac {1}{2}}}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

ElLecturas inversas de Hadamard : ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{B}&={A}^{\circ -1}\\B_{ij}&={A_{ij}}^{-1}\end{aligned}}}$$

ALa división de Hadamard se define como: ^{[ 16 ] [ 17 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{C}&={A}\oslash {B}\\C_{ij}&={\frac {A_{ij}}{B_{ij}}}\end{aligned}}}$$

La mayoría de los lenguajes de programación científica o numérica incluyen el producto de Hadamard, bajo diversos nombres.

En MATLAB , el producto de Hadamard se expresa como "multiplicación de puntos": a .* b, o la llamada a la función: times(a, b). ^{[ 18 ]} También tiene operadores de puntos análogos que incluyen, por ejemplo, los operadores a .^ by a ./ b. ^{[ 19 ]} Debido a este mecanismo, es posible reservar *y ^para la multiplicación de matrices y las exponenciales de matrices, respectivamente.

El lenguaje de programación Julia tiene una sintaxis similar a la de MATLAB, donde la multiplicación de Hadamard se llama multiplicación de difusión y también se denota con a .* b, y otros operadores se definen de forma análoga elemento a elemento; por ejemplo, las potencias de Hadamard usan a .^ b. ^{[ 20 ]} Pero a diferencia de MATLAB, en Julia esta sintaxis de "punto" se generaliza con un operador de difusión. genérico que puede aplicar cualquier función elemento a elemento. Esto incluye tanto operadores binarios (como la multiplicación y la exponenciación mencionadas anteriormente, así como cualquier otro operador binario como el producto de Kronecker), como operadores unarios como !y √. Por lo tanto, cualquier función en notación prefijaf se puede aplicar como f.(x). ^{[ 21 ]}

Python no tiene soporte integrado para matrices, lo que genera notaciones inconsistentes/conflictivas. La biblioteca numérica NumPy interpreta a*bo a.multiply(b)como el producto de Hadamard, y usa a@bo a.matmul(b)para el producto de matrices. Con la biblioteca simbólica SymPy , la multiplicación de objetos de matriz como a*bo a@bproducirá el producto de matrices. El producto de Hadamard se puede obtener con la llamada al método a.multiply_elementwise(b). ^{[ 22 ]} Algunos paquetes de Python incluyen soporte para potencias de Hadamard usando métodos como np.power(a, b), o el método Pandasa.pow(b) .

En C++, la biblioteca Eigen proporciona una cwiseProductfunción miembro para la clase Matrix ( ), mientras que la biblioteca Armadillo utiliza el operador para hacer expresiones compactas ( ; es un producto de matrices).a.cwiseProduct(b)%a % ba * b

En GAUSS y HP Prime , la operación se conoce como multiplicación de matrices.

En Fortran , R , APL , J y Wolfram Language ( Mathematica ), el operador de multiplicación *o ×aplica el producto de Hadamard, mientras que el producto de matrices se escribe usando matmul, %*%, +.×, +/ .*y ., respectivamente.

En el lenguaje de programación Maple , el operador de multiplicación *no está definido para matrices y vectores. El producto matricial se escribe usando ., mientras que el producto de Hadamard se puede obtener usando *~. (El ~es un 'operador de difusión' similar a .en Julia).

El paquete matrixcalc de R introduce la función hadamard.prod()para el producto de Hadamard de matrices o vectores numéricos. ^{[ 23 ]}

El sistema de álgebra computacional que utiliza Maxima. para la multiplicación de matrices y *para el producto de Hadamard.

El producto de Hadamard aparece en algoritmos de compresión con pérdida como JPEG . El paso de decodificación implica un producto entrada por entrada, es decir, el producto de Hadamard.

En el procesamiento de imágenes , el operador Hadamard se puede utilizar para realzar, atenuar o enmascarar regiones de la imagen. Una matriz representa la imagen original, mientras que la otra actúa como matriz de ponderación o de enmascaramiento.

Se utiliza en la literatura de aprendizaje automático , por ejemplo, para describir la arquitectura de redes neuronales recurrentes como GRU o LSTM . ^{[ 24 ]}

También se utiliza para estudiar las propiedades estadísticas de vectores y matrices aleatorias. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

Según la definición de V. Slyusar, el producto de la cara penetrante de la matriz p × g${\displaystyle {A}}$y matriz n -dimensional${\displaystyle {B}}$( n > 1) con p × g bloques (${\displaystyle {B}=[B_{n}]}$) es una matriz de tamaño${\displaystyle {B}}$de la forma: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {A}[\circ ]{B}=\left[{\begin{array}{c | c | c | c }{A}\circ {B}_{1}&{A}\circ {B}_{2}&\cdots &{A}\circ {B}_{n}\end{array}}\right].}$$

• Producto interno de Frobenius
• Producto puntual
• Producto Kronecker
• Producto Khatri-Rao