Teorema de la envolvente

El teorema 1 implica el lema de Hotelling en cualquier punto de diferenciabilidad de la función de beneficio, y el teorema 2 implica la fórmula del excedente del productor . Formalmente, sea${\displaystyle \pi \left(p\right)}$denotemos la función de beneficio indirecto de una empresa precio-aceptante con conjunto de producción${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}$precios de cara${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{L}}$y dejar${\displaystyle x^{\ast }\left(p\right)}$denotan la función de oferta de la empresa, es decir,

${\displaystyle \pi (p)=\max _{x\in X}p\cdot x=p\cdot x^{\ast }\left(p\right){\text{.}}}$

Dejar${\displaystyle t=p_{i}}$(el precio de los bienes${\displaystyle i}$) y fijar los precios de los demás bienes en${\displaystyle p_{-i}\in \mathbb {R} ^{L-1}}$. Aplicando el Teorema 1 a${\displaystyle f(x,t)=tx_{i}+p_{-i}\cdot x_{-i}}$rendimientos${\displaystyle {\frac {\partial \pi (p)}{\partial p_{i}}}=x_{i}^{\ast }(p)}$(la oferta óptima de bienes de la empresa${\displaystyle i}$). Aplicando el Teorema 2 (cuyos supuestos se verifican cuando${\displaystyle p_{i}}$está restringido a un intervalo acotado) produce

${\displaystyle \pi (t,p_{-i})-\pi (0,p_{-i})=\int _{0}^{p_{i}}x_{i}^{\ast }(s,p_{-i})ds,}$

es decir, el excedente del productor${\displaystyle \pi (t,p_{-i})-\pi (0,p_{-i})}$se puede obtener integrando bajo la curva de oferta de la empresa para el bien${\displaystyle i}$.

Consideremos un agente cuya función de utilidad${\displaystyle f(x,t)}$sobre los resultados${\displaystyle x\in {\bar {X}}}$depende de su tipo${\displaystyle t\in \lbrack 0,1]}$. Dejar${\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}$representa el "menú" de posibles resultados que el agente podría obtener en el mecanismo al enviar diferentes mensajes. La utilidad de equilibrio del agente${\displaystyle V(t)}$en el mecanismo viene dado entonces por (1), y el conjunto${\displaystyle X^{\ast }(t)}$de los resultados de equilibrio del mecanismo viene dado por (2). Cualquier selección${\displaystyle x^{\ast }(t)\in X^{\ast }(t)}$es una regla de elección implementada por el mecanismo. Supongamos que la función de utilidad del agente${\displaystyle f(x,t)}$es diferenciable y absolutamente continuo en${\displaystyle t}$a pesar de${\displaystyle x\in Y}$y que${\displaystyle \sup _{x\in {\bar {X}}}|f_{t}(x,t)|}$es integrable en${\displaystyle [0,1]}$Entonces, el Teorema 2 implica que la utilidad de equilibrio del agente es${\displaystyle V}$en cualquier mecanismo que implemente una regla de elección determinada${\displaystyle x^{\ast }}$debe satisfacer la condición integral (4).

La condición integral (4) es un paso clave en el análisis de problemas de diseño de mecanismos con espacios de tipos continuos. En particular, en el análisis de Myerson (1981) de subastas de un solo artículo, el resultado desde el punto de vista de un postor se puede describir como${\displaystyle x=\left(y,z\right)}$, dónde${\displaystyle y}$es la probabilidad del postor de recibir el objeto y${\displaystyle z}$es su pago esperado, y la utilidad esperada del licitador toma la forma${\displaystyle f\left(\left(y,z\right),t\right)=ty-z}$En este caso, dejar${\displaystyle {\underline {t}}}$denota el tipo más bajo posible del postor, la condición integral (4) para la utilidad esperada de equilibrio del postor${\displaystyle V}$toma la forma

${\displaystyle V(t)-V({\underline {t}})=\int _{0}^{t}y^{\ast }(s)ds.}$

(Esta ecuación puede interpretarse como la fórmula del excedente del productor para la empresa cuya tecnología de producción para convertir numerario${\displaystyle z}$en probabilidad${\displaystyle y}$La obtención del objeto se define mediante la subasta, que revende el objeto a un precio fijo.${\displaystyle t}$). Esta condición a su vez produce el célebre teorema de equivalencia de ingresos de Myerson (1981) : el ingreso esperado generado en una subasta en la que los postores tienen valores privados independientes está totalmente determinado por las probabilidades de los postores.${\displaystyle y^{\ast }\left(t\right)}$de obtener el objeto para todos los tipos${\displaystyle t}$así como por los beneficios esperados${\displaystyle V({\underline {t}})}$de los tipos más bajos de los postores. Finalmente, esta condición es un paso clave en el modelo de subastas óptimas de Myerson (1981). ^{[ 6 ]}

Para otras aplicaciones del teorema de la envolvente al diseño de mecanismos, véanse Mirrlees (1971), ^{[ 7 ]} Holmstrom (1979), ^{[ 8 ]} Laffont y Maskin (1980), ^{[ 9 ]} Riley y Samuelson (1981), ^{[ 10 ]} Fudenberg y Tirole (1991), ^{[ 11 ]} y Williams (1999). ^{[ 12 ]} Si bien estos autores derivaron y explotaron el teorema de la envolvente restringiendo la atención a reglas de elección continuamente diferenciables (por partes) o incluso clases más restringidas, a veces puede ser óptimo implementar una regla de elección que no sea continuamente diferenciable por partes. (Un ejemplo es la clase de problemas de comercio con utilidad lineal descritos en el capítulo 6.5 de Myerson (1991). ^{[ 13 ]} ) Nótese que la condición integral (3) sigue siendo válida en este contexto e implica resultados tan importantes como el lema de Holmstrom (Holmstrom, 1979), ^{[ 8 ]} el lema de Myerson (Myerson, 1981), ^{[ 6 ]} el teorema de equivalencia de ingresos (para subastas), el teorema de Green-Laffont-Holmstrom (Green y Laffont, 1979; Holmstrom, 1979), ^{[ 14 ] [ 8 ]} el teorema de ineficiencia de Myerson-Satterthwaite (Myerson y Satterthwaite, 1983), ^{[ 15 ]} los teoremas de imposibilidad de Jehiel-Moldovanu (Jehiel y Moldovanu, 2001), ^{[ 16 ]} el McAfee-McMillan el teorema de los cárteles débiles (McAfee y McMillan, 1992), ^{[ 17 ]} y el teorema de la martingala de Weber (Weber, 1983), ^{[ 18 ]} etc. Los detalles de estas aplicaciones se proporcionan en el Capítulo 3 de Milgrom (2004), ^{[ 19 ]} quien ofrece un marco elegante y unificador en el análisis del diseño de subastas y mecanismos basado principalmente en el teorema de la envolvente y otras técnicas y conceptos familiares en la teoría de la demanda.

Para un espacio de parámetros multidimensional${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{K}}$El teorema 1 se puede aplicar a las derivadas parciales y direccionales de la función de valor. Si ambas funciones objetivo${\displaystyle f}$y la función de valor${\displaystyle V}$son (totalmente) diferenciables en${\displaystyle t}$El teorema 1 implica la fórmula de la envolvente para sus gradientes:${\displaystyle \nabla V\left(t\right)=\nabla _{t}f\left(x,t\right)}$para cada${\displaystyle x\in X^{\ast }\left(t\right)}$Aunque la diferenciabilidad total de la función de valor puede no ser fácil de garantizar, el Teorema 2 aún puede aplicarse a lo largo de cualquier trayectoria suave que conecte dos valores de parámetros.${\displaystyle t_{0}}$y${\displaystyle t}$. Es decir, supongamos que las funciones${\displaystyle f(x,\cdot )}$son diferenciables para todos${\displaystyle x\in X}$con${\displaystyle |\nabla _{t}f(x,t)|\leq B}$a pesar de${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle t\in T}$Un camino suave desde${\displaystyle t_{0}}$a${\displaystyle t}$se describe mediante un mapeo diferenciable${\displaystyle \gamma$ :\left[0,1\right]\rightarrow T} con una derivada acotada, tal que${\displaystyle \gamma \left(0\right)=t_{0}}$y${\displaystyle \gamma \left(1\right)=t}$El teorema 2 implica que , para cualquier trayectoria suave de este tipo, el cambio de la función de valor puede expresarse como la integral de trayectoria del gradiente parcial.${\displaystyle \nabla _{t}f(x^{\ast }(t),t)}$de la función objetivo a lo largo de la trayectoria:

${\displaystyle V(t)-V(t_{0})=\int _{\gamma }\nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds.}$

En particular, para${\displaystyle t=t_{0}}$Esto establece que las integrales de trayectoria cíclicas a lo largo de cualquier trayectoria suave${\displaystyle \gamma }$debe ser cero:

${\displaystyle \int \nabla _{t}f(x^{\ast }(s),s)\cdot ds=0.}$

Esta "condición de integrabilidad" juega un papel importante en el diseño de mecanismos con tipos multidimensionales, limitando qué tipo de reglas de elección${\displaystyle x^{\ast }}$puede mantenerse mediante menús inducidos por mecanismos${\displaystyle X\subseteq {\bar {X}}}$. En aplicación a la teoría del productor, con${\displaystyle x\in X\subseteq \mathbb {R} ^{L}}$siendo el vector de producción de la empresa y${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{L}}$siendo el vector de precios,${\displaystyle f\left(x,t\right)=t\cdot x}$y la condición de integrabilidad dice que cualquier función de oferta racionalizable${\displaystyle x^{\ast }}$debe satisfacer

${\displaystyle \int x^{\ast }(s)\cdot ds=0.}$

Cuando${\displaystyle x^{\ast }}$es continuamente diferenciable, esta condición de integrabilidad es equivalente a la simetría de la matriz de sustitución.${\displaystyle \left(\partial x_{i}^{\ast }\left(t\right)/\partial t_{j}\right)_{i,j=1}^{L}}$(En la teoría del consumidor , el mismo argumento aplicado al problema de minimización del gasto produce simetría en la matriz de Slutsky ).

Supongamos ahora que el conjunto factible${\displaystyle X\left(t\right)}$depende del parámetro, es decir,

${\displaystyle V(t)=\sup _{x\in X\left(t\right)}f(x,t)}$

${\displaystyle X^{\ast }(t)=\{x\in X\left(t\right):f(x,t)=V(t)\}{\text{, }}}$

dónde${\displaystyle X\left(t\right)=\left\{x\in X:g\left(x,t\right)\geq 0\right\}}$para algunos${\displaystyle g:X\times \left[0,1\right]\rightarrow \mathbb {R} ^{K}.}$

Supongamos que${\displaystyle X}$es un conjunto convexo ,${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son cóncavos en${\displaystyle x}$y existe${\displaystyle {\hat {x}}\in X}$de tal manera que${\displaystyle g\left({\hat {x}},t\right)>0}$a pesar de${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}$Bajo estas suposiciones, es bien sabido que el programa de optimización con restricciones anterior puede representarse como un problema de punto de silla para el lagrangiano.${\displaystyle L\left(x,\lambda ,t\right)=f(x,t)+\lambda \cdot g\left(x,t\right)}$, dónde${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}^{K}}$es el vector de multiplicadores de Lagrange elegido por el adversario para minimizar el lagrangiano. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Esto permite la aplicación del teorema de la envolvente de Milgrom y Segal (2002, Teorema 4) para problemas de punto de silla, ^{[ 5 ]} bajo los supuestos adicionales de que${\displaystyle X}$es un conjunto compacto en un espacio lineal normado,${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son continuos en${\displaystyle x}$, y${\displaystyle f_{t}}$y${\displaystyle g_{t}}$son continuos en${\displaystyle \left(x,t\right)}$. En particular, dejar${\displaystyle \left(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right)\right)}$denota el punto de silla del lagrangiano para el valor del parámetro${\displaystyle t}$, el teorema implica que${\displaystyle V}$es absolutamente continuo y satisface

${\displaystyle V(t)=V(0)+\int _{0}^{t}L_{t}(x^{\ast }(s),\lambda ^{\ast }\left(s\right),s)ds.}$

Para el caso especial en el que${\displaystyle f\left(x,t\right)}$es independiente de${\displaystyle t}$,${\displaystyle K=1}$, y${\displaystyle g\left(x,t\right)=h\left(x\right)+t}$, la fórmula implica que${\displaystyle V^{\prime }(t)=L_{t}(x^{\ast }(t),\lambda ^{\ast }\left(t\right),t)=\lambda ^{\ast }\left(t\right)}$para ae${\displaystyle t}$. Es decir, el multiplicador de Lagrange${\displaystyle \lambda ^{\ast }\left(t\right)}$La restricción es su " precio sombra " en el programa de optimización. ^{[ 21 ]}

Milgrom y Segal (2002) demuestran que la versión generalizada de los teoremas de la envolvente también se puede aplicar a la programación convexa, problemas de optimización continua , problemas de punto de silla y problemas de parada óptima . ^{[ 5 ]}