Distribución cuadrática U

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución U-cuadrática es una distribución de probabilidad continua definida por una única función cuadrática convexa con límite inferior a y límite superior b . ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x|a,b,\alpha ,\beta )=\alpha \left(x-\beta \right)^{2},\quad {\text{para }}x\in [a,b].}$

Esta distribución tiene efectivamente solo dos parámetros a y b , ya que los otros dos son funciones explícitas del soporte definido por los dos primeros parámetros:

${\displaystyle \beta ={b+a \over 2}}$

(centro de equilibrio gravitacional, desplazamiento) y

${\displaystyle \alpha ={12 \over \left(ba\right)^{3}}}$

(escala vertical).

Se puede introducir una inversión vertical (${\displaystyle \cap }$distribución cuadrática de forma análoga. Esa distribución invertida también está estrechamente relacionada con la distribución de Epanechnikov .

Esta distribución es un modelo útil para procesos bimodales simétricos . Otras distribuciones continuas permiten mayor flexibilidad, en términos de relajar la simetría y la forma cuadrática de la función de densidad, que se imponen en la distribución U-cuadrática; por ejemplo, la distribución beta y la distribución gamma .

${\displaystyle M_{X}(t)={-3\left(e^{at}(4+(a^{2}+2a(-2+b)+b^{2})t)-e^{bt}(4+(-4b+(a+b)^{2})t)\right) \over (ab)^{3}t^{2}}}$

${\displaystyle \phi _{X}(t)={3i\left(e^{iate^{ibt}}(4i-(-4b+(a+b)^{2})t)\right) \over (ab)^{3}t^{2}}}$